Теория:

Число b является пределом последовательности (yn), если все члены последовательности, начиная с некоторого номера, попадают в выбранную окрестность точки b.
Это записывают так:
ynb, или limnyn=b.
Дадим определение, что такое окрестность точки.
Окрестность точки b радиуса r1 есть интервал  (br1;b+r1), (r1>0).

Пусть интервал (br1;b+r1) — окрестность точки b радиуса r1, (r1>0). Пусть номер n1 такой, что начиная с этого номера все члены последовательности (yn) попадают в окрестность (br1;b+r1): yn1(br1;b+r1),yn1+1(br1;b+r1),yn1+2(br1;b+r1) и т. д.

Тогда число b является пределом последовательности (yn).

Пример:
дана последовательность (yn):
1,12,13,14...1n...
Доказать, что limn1n=0.
Решение.
Выберем некоторую окрестность точки 0 радиуса r.
lim.bmp
Очевидно, что методом подбора можно найти такое натуральное число n0, чтобы выполнялось неравенство 1n0<r.
Если r=0,001, то n0 может быть 1001, т. к. 11001<0,001, и т. д.
Это значит, что член последовательности (yn) с номером n0, т. е. yn0, попадает в выбранную окрестность точки 0. В этой же окрестности будут находиться все последующие члены заданной убывающей последовательности yn=1n. Согласно определению это означает, что limn1n=0.
Для наглядности построим график последовательности yn=1n, который состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4..., лежащих на ветви гиперболы y=1x.
giperbola_pryamaya.png
 
Так как limn1n=0, то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика функции y=1x,xN.