Теория:
Рассмотрим функцию, график которой изображён на рисунке:
Для заданного случая предел функции при стремлении \(x\) к \(a\) равен \(b\). Записывают: .
Содержательный смысл приведённой выше записи заключается в следующем:
если значения аргумента выбираются всё ближе и ближе к значению \(x=a\), то значения функции всё меньше и меньше отличаются от предельного значения \(b\).
Можно сказать и так:
в достаточно малой окрестности точки \(a\) справедливо приближенное равенство (причём это приближенное равенство тем точнее, чем меньшая окрестность выбирается).
При этом, подчеркнём, сама точка \(x=a\) исключается из рассмотрения.
Функцию называют непрерывной в точке \(x=a\), если выполняется соотношение:
.
Иными словами, функцию называют непрерывной в точке \(x=a\), если предел функции при стремлении \(x\) к \(a\) равен значению функции в точке \(x=a\).
Функцию называют непрерывной на промежутке \(X\), если она непрерывна в каждой точке промежутка.
Eсли выражение \(f(x)\) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических и обратных тригонометрических выражений, то функция непрерывна в любой точке, в которой определено выражение \(f(x)\).