Теория:

Самыми важными в практической деятельности человека являются задачи о рациональном использовании средств и получении наибольшей прибыли.
Эти задачи имеют общее название — задачи на оптимизацию (от латинского слова optimum — «наилучший»). При решении этих задач используется математическое моделирование. Сначала строится математическая модель задачи, затем выполняется работа с этой моделью, в заключении даётся ответ на вопрос задачи.
 
Рассмотрим каждый этап решения задачи на оптимизацию подробнее.

Первый этап. Составление математической модели.

1. Назовём величину в условии задачи, наибольшее или наименьшее значение которой нужно найти, оптимизируемой величиной (в дальнейшем будем использовать сокращение: \(О. В.\)). Обозначаем её буквой \(y\) или иной буквой (\(S, V, R, t\) — смотрим по условию).

2. Выбираем в условии задачи независимую переменную, через которую можно выразить \(О. В.\) Эту независимую переменную обозначаем  буквой \(x\) (или другой буквой). В соответствии с условиями задачи определяем границы для значений независимой переменной. Это будет областью определения для искомой \(О. В.\)

3. Выражаем \(y\) через \(x\) и получаем функцию \(y=f(x)\) с найденной в шаге \(2\) областью определения \(X\). Получена математическая модель задачи.

Второй этап. Работа с математической моделью.

Для функции \(y=f(x)\), xX, находим yнаим или yнаиб, исходя из условия задачи. При этом используются теоретическая база, заданная в первом пункте.

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Даётся чёткий ответ на вопрос задачи, основываясь на результаты, полученные на этапе работы с моделью.

Пример:

необходимо установить забор для дачного участка прямоугольной формы длиной  \(120\) м. Найдите размеры данного участка, если известно, что его площадь является наибольшей.

Решение. Первый этап. Составление математической модели.

1. Площадь дачного участка является оптимизируемой величиной (О. В.), т. к. в задаче необходимо найти размеры участка при его наибольшей площади. Введём обозначение: О. В. будет \(S\).

2. Площадь участка прямоугольной формы зависит от длины и ширины прямоугольника. Пусть независимой переменной (Н. П.) будет длина балки, обозначим её через \(a\).

3. Ширина \(b\) прямоугольника связана с его длиной и периметром: 2(a+b)=P (формула периметра прямоугольника). Значит, b=12Pa.

Площадь прямоугольника \(S\) вычисляется по формуле: S=ab.
S=a(12Pa).

Математическая модель задачи составлена.

Второй этап. Работа с математической моделью.
На этом этапе для функции S=a(12Pa), надо найти Sнаиб.

Получили:

S=a12Pa;S=12Paa2;S=12P2a.

Критических точек нет. Найдём стационарные точки. Приравняв производную к нулю, получим:

12P2a=0;2a=12P;a=14P.

 a=14P — точка максимума функции. Значит, по теореме из пункта \(1.\)

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

В задаче спрашивается, какие размеры должен иметь участок при наибольшей площади. Мы определили, что длина \(a\) участка, равна 14P=14120=30 м. Найдём ширину участка:

b=12Pa;b=1212030=30.

Ответ: размер участка при наибольшей его площади составляет 30х30 м.