Правила дифференцирования — урок. Алгебра, 10 класс.

Теорема 1

Если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют производную в точке $x$, то и их сумма имеет производную в точке $x$, причём производная суммы равна сумме производных:

${(f (x) + g (x))}^{'} = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ .

Теорема 2

Если функция $y=f(x)$ имеет производную в точке $x$, то и функция $y=kf(x)$ имеет производную в точке $x$, причём:

${(kf (x))}^{'} = k f^{'} (x)$ .

Теорема 3

Если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют производную в точке $x$, то и их произведение имеет производную в точке $x$, причём:

${(f (x) g (x))}^{'} = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) {\cdot g}^{'} (x)$ .

На практике эту теорему формулируют так:

производная произведения двух функций равна сумме двух слагаемых; первое слагаемое есть произведение производной первой функции на вторую функцию, а второе слагаемое есть произведение первой функции на производную второй функции.

Если функции $y=f(x)$ и $y=g(x)$ имеют производную в точке $x$ и в этой точке $g (x) \neq 0$ , то и функция $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ имеет производную в точке $x$, причём:

${(\frac{f (x)}{g (x)})}^{'} = \frac{f^{'} (x) \cdot g (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)}{g^{2} (x)}$ .

Короче:

$\begin{array}{l} (k_{1} u + k_{2} v)' = k_{1} u' + k_{2} v'; \\ (uv)' = u' v + uv'; \\ {(\frac{u}{v})}^{'} = \frac{u' v - uv'}{v^{2}} . \end{array}$

Пример:

\begin{array}{l} u = x^{2}; \\ v = \sin x; \\ 1 . ({2x}^{2} - 3sin x)' = 2 (x^{2})' - 3 (\sin x)' = 2 \cdot 2 x - 3cos x = 4 x - 3 \cos x; \\ 2 . (x^{2} \sin x)' = (x^{2})' \sin x + x^{2} (\sin x)' = 2 x \sin x + x^{2} \cos x; \\ {3 . (\frac{x^{2}}{\sin x})}^{'} = \frac{(x^{2})' \sin x - x^{2} (\sin x)'}{{(\sin x)}^{2}} = \frac{2 x \sin x - x^{2} \cos x}{\sin^{2} x} . \end{array}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

2. Правила дифференцирования

Теория: