Теория:

Теорема 1

Производная суммы двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) существует в точке \(x\), если существуют производные этих функций в точке \(x\). 

Производная суммы равна сумме производных:

(f(x)+g(x))=f(x)+g(x).

Теорема 2

Производная функции \(y=kf(x)\) существует в точке \(x\), если существует производная функции \(y=f(x)\) в точке \(x\).

Производная функции \(y=kf(x)\) равна произведению коэффициента \( k\) и производной функции \(y=f(x)\):

(kf(x))=kf(x).

Теорема 3

Производная произведения двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) существует в точке \(x\), если существуют производные этих функций в точке \(x\).

Производная произведения двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) находится по формуле:

(f(x)g(x))=f(x)g(x)+f(x)g(x).

Словесная формулировка этого правила:

чтобы найти производную произведения двух функций, нужно к произведению производной первой функции и второй функции прибавить произведение первой функции и производной второй функции.

Производная частного двух функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) существует в точке \(x\), если существуют производные этих функций в точке \(x\)  и в этой точке g(x)0.

Производная y=f(x)g(x) находится по формуле:

f(x)g(x)=f(x)g(x)f(x)g(x)g2(x).

Короче:

(k1u+k2v)=k1u+k2v;(uv)=uv+uv;uv=uvuvv2.

Пример:
u=x2;v=sinx;1.(2x23sinx)=2(x2)3(sinx)=22x3cosx=4x3cosx;2.(x2sinx)=(x2)sinx+x2(sinx)=2xsinx+x2cosx;3.x2sinx=(x2)sinxx2(sinx)(sinx)2=2xsinxx2cosxsin2x.