Тригонометрические уравнения — урок. Алгебра, 10 класс.

Тригонометрическое уравнение — уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции.

Основные методы решения тригонометрических уравнений.

1. Метод разложения на множители

Если уравнение

f (x) = 0

удаётся преобразовать к виду

f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = 0

, то либо

f_{1} (x) = 0

, либо

f_{2} (x) = 0

В подобных случаях задача сводится к решению совокупности уравнений:

f_{1} (x) = 0

;

f_{2} (x) = 0

Пример:

решить уравнение методом разложения на множители

(\sin x - \frac{1}{3}) (\cos x + \frac{2}{5}) = 0

Задача сводится к решению совокупности уравнений:

\sin x = \frac{1}{3}; \cos x = - \frac{2}{5}

Из этих уравнений находим соответственно:

x = {(- 1)}^{k} \arcsin \frac{1}{3} + π k, k \in ℤ; x = \pm \arccos (- \frac{2}{5}) + 2 π k, k \in ℤ

Обрати внимание!

Учти, что переход от уравнения

f_{1} (x) \cdot f_{2} (x) = 0

к совокупности уравнений

f_{1} (x) = 0

;

f_{2} (x) = 0

не всегда безопасен.

Пример:

рассмотрим уравнение

tg x (\sin x - 1) = 0

Из уравнения

tg x = 0

находим:

x = π k, k \in ℤ

Из уравнения

\sin x = 1

находим:

x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

Но включить оба решения в ответ нельзя, т. к. при значениях

x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

, входящий в заданное уравнение множитель

tg x

не имеет смысла, т. е. значения

x = \frac{π}{2} + 2 π k, k \in ℤ

, не принадлежат области определения уравнения, это посторонние корни.

2. Метод введения новой переменной

Пример:

решить уравнение методом введения новой переменной

2 \sin^{2} x - 5 \sin x + 2 = 0

Введём новую переменную

z = \sin x

, тогда уравнение можно записать как

2 z^{2} - 5 z + 2 = 0

Находим корни данного уравнения:

z_{1} = 2, z_{2} = \frac{1}{2}

. Значит, либо

\sin x = 2

, либо

\sin x = \frac{1}{2}

Уравнение

\sin x = 2

не имеет корней, а из уравнения

\sin x = \frac{1}{2}

находим:

x = {(- 1)}^{k} \arcsin \frac{1}{2} + π k, k \in ℤ; x = {(- 1)}^{k} \frac{π}{6} + π k, k \in ℤ

Нашёл ошибку?

1. Тригонометрические уравнения