Логарифмирование — урок. Алгебра, 11 класс.

Уравнения вида

2^{x} = 3; x^{\log_{3} x - 2} = 27; x^{\log_{3} x} = 4 x

решаются логарифмированием обеих частей уравнения.

Логарифмирование — это переход от уравнения

f (x) = g (x)

к уравнению

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x)

Рассмотрим на примерах.

Пример:

реши уравнение

2^{x} = 3

Решение

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию \(2\):

\begin{array}{l} \log_{2} 2^{x} = \log_{2} 3; \\ x \cdot \log_{2} 2 = \log_{2} 3 \end{array}

, т. к.

\log_{a} b^{r} = r \cdot \log_{a} b

;

\begin{array}{l} x \cdot 1 = \log_{2} 3; \\ x = \log_{2} 3 . \end{array}

Ответ:

x = \log_{2} 3

Пример:

реши уравнение:

x^{\log_{3} x - 2} = 27

Решение

ОДЗ:

\begin{array}{l} \{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases} \\ x \in (0; 1) \cup (1; + \infty) . \end{array}

Прологарифмируем обе части по основанию \(3\):

\log_{3} x^{\log_{3} x - 2} = \log_{3} 27

;

(\log_{3} x - 2) \cdot \log_{3} x = 3

, т. к.

\log_{a} b^{r} = r \cdot \log_{a} b

Пусть

\log_{3} x = t

;

\begin{array}{l} (t - 2) \cdot t = 3; \\ t^{2} - 2 t - 3 = 0 . \end{array}

По теореме Виета

\{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 2 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 3 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = 3 \\ t_{2} = - 1 \end{array}

Вернёмся к обозначенному:

\begin{matrix} \begin{array}{l} \log_{3} x = 3; \\ x_{1} = 3^{3} = 27 . \end{array} & \begin{array}{l} \log_{3} x = - 1; \\ x_{2} = 3^{- 1} = \frac{1}{3} . \end{array} \end{matrix}

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ:

\frac{1}{3}

27

Пример:

реши уравнение:

x^{\log_{2} x} = 4 x

Решение

ОДЗ:

\{\begin{cases} x > 0 \\ x \neq 1 \end{cases}

(по определению показательной функции);

x \in (0; 1) \cup (1; + \infty)

Прологарифмируем по основанию \(2\):

\begin{array}{l} {\log_{2} x}^{\log_{2} x} = \log_{2} 4 x; \\ \log_{2} x \cdot \log_{2} x = \log_{2} 4 x; \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} 4 x = 0; \\ \log_{2}^{2} x - (\log_{2} 4 + \log_{2} x) = 0; \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - \log_{2} 4 = 0; \\ \log_{2}^{2} x - \log_{2} x - 2 = 0 . \end{array}

Обозначим

\log_{2} x = t

, тогда

t^{2} - t - 2 = 0

По теореме Виета

\begin{array}{l} \{\begin{cases} t_{1} + t_{2} = 1 \\ t_{1} \cdot t_{2} = - 2 \end{cases} \Rightarrow [\begin{array}{l} t_{1} = 2 \\ t_{2} = - 1 \end{array} \\ \log_{2} x = 2; \log_{2} x = - 1; \\ x_{1} = 2^{2} = 4 . x_{2} = 2^{- 1} = \frac{1}{2} . \end{array}

Оба значения принадлежат ОДЗ.

Ответ:

\frac{1}{2}; 4

Предыдущая теория

Нашёл ошибку?

4. Логарифмирование