Теория:
Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение
, где основание ,
а выражение, стоящее под знаком логарифма, \(x>0\).
Для любого действительного \(b\) это уравнение имеет единственное решение: .
Пример:
решить уравнение:
.
Решение
Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): \(x>0\),
т. к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение.
Для решения данного уравнения достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число \(x\) как степень основания \(2\) логарифма, причём показатель степени равен \(3\):
Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.
Ответ: \(x=8\).
Пример:
решить уравнение: .
Решение
ОДЗ: .
По определению логарифма получаем
Ответ: .
Пример:
решить уравнение:
Решение
По свойству логарифма преобразуем левую часть ОДЗ
По теореме Виета
.
\(x=-6\) не является корнем этого уравнения, т. к. не принадлежит ОДЗ.
Ответ: \(x=1\).