Решение логарифмических уравнений по определению логарифма

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в основании логарифма), называются логарифмическими.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение
$\log_{a} x = b$ , где основание $a > 0, a \neq 1$ ,
а выражение, стоящее под знаком логарифма, $x>0$.
Для любого действительного $b$ это уравнение имеет единственное решение: $x = a^{b}$ .

Пример:

решить уравнение:

\log_{2} x = 3

Решение

Вначале находим область допустимых значений (ОДЗ): $x>0$,

т. к. под знаком логарифма должно быть положительное выражение.

Для решения данного уравнения достаточно воспользоваться определением логарифма, то есть представить число $x$ как степень основания $2$ логарифма, причём показатель степени равен $3$:

\begin{array}{l} \log_{2} x = 3; \\ x = 2^{3}; \\ x = 8 . \end{array}

Найденное значение принадлежит ОДЗ, значит, является корнем уравнения.

Ответ: $x=8$.

Пример:

решить уравнение:

\log_{3} (x^{2} + 72) = 4

Решение

ОДЗ:

x^{2} + 72 > 0 \Rightarrow x \in R

По определению логарифма получаем

\begin{array}{l} x^{2} + 72 = 3^{4}; \\ x^{2} + 72 = 81; \\ x^{2} + 72 - 81 = 0; \\ x^{2} - 9 = 0; \\ (x - 3) (x + 3) = 0 \Rightarrow x_{1} = 3, x_{2} = - 3 . \end{array}

Ответ:

x_{1} = 3, x_{2} = - 3

Пример:

решить уравнение:

\lg (x + 1) + \lg (x + 4) = 1 .

Решение

По свойству логарифма преобразуем левую часть ОДЗ

\begin{array}{l} \lg (x + 1) (x + 4) = 1; \{\begin{cases} x + 1 > 0 \\ x + 4 > 0 \end{cases} \\ \lg (x + 1) (x + 4) = lg10 . \end{array}

\begin{array}{l} (x + 1) (x + 4) = 10; \{\begin{cases} x > - 1 \\ x > - 4 \end{cases} \\ x^{2} + 5x + 4 = 10; x \in (- 1; + \infty) . \\ x^{2} + 5x + 4 - 10 = 0; \\ x^{2} + 5x - 6 = 0 . \end{array}

По теореме Виета

\{\begin{cases} x_{1} + x_{2} = - 5 \\ x_{1} \cdot x_{2} = - 6 \end{cases} \Rightarrow x_{1} = - 6, x_{2} = 1

$x=-6$ не является корнем этого уравнения, т. к. не принадлежит ОДЗ.

Ответ: $x=1$.

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Решение логарифмических уравнений по определению логарифма

Теория: