Метод введения новой переменной — урок. Алгебра, 11 класс.

Способ подстановки применяется в более сложных примерах. Он заключается в следующем.

Показательное уравнение можно решить, введя новое обозначение. После подстановки в исходное уравнение нового обозначения получим новое, более простое уравнение, решив которое, возвращаемся к подстановке и находим корни исходного уравнения.

Рассмотрим способ подстановки на примерах.

Пример:

решить уравнение:

9^{x} - 4 \cdot 3^{x} - 45 = 0

Заменой

3^{x} = t

данное уравнение сводится к квадратному уравнению

t^{2} - 4 t - 45 = 0

Решая это уравнение, находим его корни:

t_{1} = 9, t_{2} = - 5

, откуда

3^{x} = 9, 3^{x} = - 5

Уравнение

3^{x} = 9

имеет корень

x = 2

, а уравнение

3^{x} = - 5

не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.

x = 2 .

Пример:

решить уравнение: $4^{x} + 2^{x + 1} - 24 = 0$ .

Заметив, что $4^{x} = {(2^{2})}^{x} = 2^{2 x} = {(2^{x})}^{2}$ , а $2^{x + 1} = 2 \cdot 2^{x}$ ,

перепишем заданное уравнение в виде ${(2^{x})}^{2} + 2 \cdot 2^{x} - 24 = 0$ .

Введём новую переменную $y = 2^{x}$ ; тогда уравнение примет вид $y^{2} + 2 y - 24 = 0$ .

Решив квадратное уравнение относительно $y$ , находим: $y_{1} = 4, y_{2} = - 6$ .

Но $y = 2^{x}$ , значит, нам остаётся решить два уравнения: $2^{x} = 4; 2^{x} = - 6$ .

Из первого уравнения находим $x = 2$ , а второе уравнение не имеет корней, поскольку при любых значениях $x$ выполняется неравенство $2^{x} > 0$ .

Ответ: $2$ .

Источники:

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

4. Метод введения новой переменной

Теория: