Теория:
Число \(e\) — иррациональное, т. е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь: \(e = 2,7182818284590...\); на практике обычно полагают, что .
График функции изображён на рисунке:
Это экспонента, отличающаяся от других экспонент (графиков показательных функций с другими основаниями) тем, что угол между касательной к графику в точке \(x = 0\) и осью абсцисс равен .
Свойства функции :
1) ;
2) не является ни чётной, ни нечётной;
3) возрастает;
4) не ограничена сверху, ограничена снизу;
5) не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений;
6) непрерывна;
7) ;
8) выпукла вниз;
9) дифференцируема.
Формула для отыскания производной функции : .
вычислить значение производной функции в точке \(x = 3\).
Решение. Воспользуемся правилом дифференцирования функции , согласно которому , и тем, что . Получим: