Размещения — урок. Алгебра, 11 класс.

Размещением из $n$ элементов по $m$ элементов (

m \leq n

) называется упорядоченная выборка элементов $m$ из данного множества элементов $n$.

Количество размещений из $n$ элементов по $m$ элементов обозначается

A_{n}^{m}

(читается как «размещение из $n$ элементов по $m$ элементов»).

	$\leftarrow$ $m$ показывает количество элементов размещения (сколько элементов выбирается)
$↑$ $n$ показывает количество элементов данного множества

Размещения вычисляются по формуле

A_{n}^{m} = \frac{n!}{(n - m)!}

1. Сколько двузначных чисел можно составить из цифр $2; 3; 4; 5; 6$ (если цифры не должны повторяться)?

Решение:

выбираются $2$ элемента из множества $5$ элементов.

В данном случае $n = 5$ (т. к. дано множество с $5$ цифрами), а $m = 2$ (т. к. нужно выбрать $2$ цифры для числа).

Вычисляем

A_{5}^{2}

По формуле:

A_{5}^{2} = \frac{5!}{(5 - 2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 20

Ответ: из данных цифр можно составить $20$ двузначных чисел с различными цифрами.

2. Даны элементы $3$ разных цветов:

. Сколькими различными способами можно выбрать $2$ из них, если порядок важен?

Решение:

эту задачу можно решить двумя способами: полным перебором или подставив величины в формулу.

Как видно на картинке, два элемента из всех данных можно выбрать $6$ различными способами.

Подставив величины в формулу ($n = 3$ и $m= 2$), получаем такой же результат:

A_{3}^{2} = \frac{3!}{(3 - 2)!} = \frac{3!}{1!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{1} = \frac{6}{1} = 6

3. У стола осталось $6$ свободных мест. Сколькими различными способами места могут занять $4$ человека?

Решение:

основное множество составляют $6$ свободных мест, значит, $n = 6$, выборку составляют $4$ человека, значит, $m = 4$. Так как важен порядок, в котором люди займут места, количество выборок равно количеству размещений из $6$ элементов по $4$ элемента, т. е.

A_{6}^{4} = \frac{6!}{(6 - 4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{2! \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{2!} = 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 360

Ответ: за столом $6$ свободных мест четыре человека могут занять $360$ различными способами.

4. Упрости выражение:

\begin{array}{l} A_{n - 1}^{3} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - 3)!} = \frac{(n - 1)!}{(n - 4)!} = \frac{(n - 4)! \cdot (n - 3) \cdot (n - 2) \cdot (n - 1)}{(n - 4)!} = \\ = (n - 3) \cdot (n - 2) \cdot (n - 1) . \end{array}

A_{n}^{n - 1} = \frac{n!}{(n - (n - 1))!} = \frac{n!}{1!} = \frac{n!}{1} = n!

(Запомни, $0! = 1$ и $1! = 1$).

A_{n}^{n} = \frac{n!}{(n - n)!} = \frac{n!}{0!} = \frac{n!}{1} = n!

5. Вычисли значение выражения:

\begin{array}{l} \frac{A_{7}^{4} - A_{5}^{3}}{A_{5}^{2}} = \frac{\frac{7!}{(7 - 4)!} - \frac{5!}{(5 - 3)!}}{\frac{5!}{(5 - 2)!}} = \frac{\frac{7!}{3!} - \frac{5!}{2!}}{\frac{5!}{3!}} = \frac{\frac{7!}{2! \cdot 3} - \frac{5!}{2!}}{\frac{5!}{3!}} = \frac{\frac{7! - 5! \cdot 3}{3!}}{\frac{5!}{3!}} = \\ = \frac{\frac{5! \cdot 6 \cdot 7 - 5! \cdot 3}{3!}}{\frac{5!}{3!}} = \frac{5! (6 \cdot 7 - 3) \cdot 3!}{3! \cdot 5!} = 6 \cdot 7 - 3 = 42 - 3 = 39 . \end{array}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

2. Размещения

Теория: