Теория:

Очень многие события в нашей жизни являются следствием совместного влияния большого числа мелких факторов.
 
Например, время в пути на работу зависит от пробок, светофоров, пешеходов и т. д. Все эти факторы, накладываясь друг на друга, и дают итоговое время в пути.
 
Но если постоянно ездить на работу, то вырабатывается некоторое среднее время. Такая устойчивость к сильным отклонениям от среднего связана с тем, что среди всего множества независимо действующих мелких факторов будут как факторы, уменьшающие время в пути, так и факторы, увеличивающие это время.
 
Уменьшающие и увеличивающие факторы взаимно погашают друг друга, поэтому суммарное отклонение от среднего невелико.
 
При этом чрезвычайно важны две вещи:
  1. все действующие факторы не должны быть сильными,
  2. все действующие факторы должны быть независимыми.
 
Математической формулировкой этого принципа является закон больших чисел.
Для каждого положительного числа \(r\) при неограниченном увеличении числа \(n\) независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота \(k/n\) появления «успеха» отличается менее чем на \(r\) от вероятности \(p\) «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.
Т. е. среднее арифметическое многих независимых случайных величин сходится к некоторому значению при увеличении числа этих величин.
 
Механизм этого прежний — отклонения вправо и влево взаимно погашаются. Именно на этом принципе основано то, что многократное повторение одного и того же приводит к почти предсказуемому результату.
 
Существует способ приближённых вычислений вероятности Pn(k) наступления \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях эксперимента с помощью гауссовой функции.
 
Существуют расширенные таблицы значений для гауссовой функции. Они составлены для значений аргумента \(x\) с шагом \(0,01\).

Опишем применение гауссовой кривой для приближённых вычислений в теореме Бернулли.

Алгоритм применения функции y=ϕ(x) в приближённых вычислениях.

Для расчёта вероятности Pn(k) необходимо:

  • удостовериться в справедливости неравенства \(npq >10\);
  • определить xk по формуле xk=knpnpq;
  • используя таблицу значений гауссовой функции, найти ϕxk;
  • предыдущий результат разделить на npq.

Pn(k)=ϕxknpq.

Вероятности Pn(k), обычно очень малы. В связи с этим при большом числе \(n\) в схеме Бернулли для числа \(k\) «успехов» целесообразно определить не одно точное значение, а некоторый диапазон, в пределах которых допустимо изменение числа \(k\).

Pn(k1kk2) — такая запись показывает, что число «успехов» \(k\) в \(n\) испытаниях Бернулли находится в диапазоне от k1 до k2.

4_1.png

\(Ф(x)\) - площадь заштрихованной фигуры.

График функции y=Φ(x):

grafik4_2.png

Алгоритм использования функции \(y= Ф(x)\) в приближённых вычислениях:

  • проверить справедливость неравенства \(npq ≥ 10\);
  • вычислить x1 и x2 по формулам:
     x1=k1npnpq;x2=k2npnpq;
  • по таблице вычислить значения  Φx1 и Φx2;
  • найти разность Φx2Φx1:
    Pnk1kk2Φx2Φx1.
Источники:
Рис. 1, 2. Графики, © ЯКласс.