Теория:
Очень многие события в нашей жизни являются следствием совместного влияния большого числа мелких факторов.
Например, время в пути на работу зависит от пробок, светофоров, пешеходов и т. д. Все эти факторы, накладываясь друг на друга, и дают итоговое время в пути.
Но если постоянно ездить на работу, то вырабатывается некоторое среднее время. Такая устойчивость к сильным отклонениям от среднего связана с тем, что среди всего множества независимо действующих мелких факторов будут как факторы, уменьшающие время в пути, так и факторы, увеличивающие это время.
Уменьшающие и увеличивающие факторы взаимно погашают друг друга, поэтому суммарное отклонение от среднего невелико.
При этом чрезвычайно важны две вещи:
- все действующие факторы не должны быть сильными,
- все действующие факторы должны быть независимыми.
Математической формулировкой этого принципа является закон больших чисел.
Для каждого положительного числа \(r\) при неограниченном увеличении числа \(n\) независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота \(k/n\) появления «успеха» отличается менее чем на \(r\) от вероятности \(p\) «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.
Т. е. среднее арифметическое многих независимых случайных величин сходится к некоторому значению при увеличении числа этих величин.
Механизм этого прежний — отклонения вправо и влево взаимно погашаются. Именно на этом принципе основано то, что многократное повторение одного и того же приводит к почти предсказуемому результату.
Существует способ приближённых вычислений вероятности наступления \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях эксперимента с помощью гауссовой функции.
Существуют расширенные таблицы значений для гауссовой функции. Они составлены для значений аргумента \(x\) с шагом \(0,01\).
Опишем применение гауссовой кривой для приближённых вычислений в теореме Бернулли.
Алгоритм применения функции в приближённых вычислениях.
Для расчёта вероятности необходимо:
- удостовериться в справедливости неравенства \(npq >10\);
- определить по формуле ;
- используя таблицу значений гауссовой функции, найти ;
- предыдущий результат разделить на .
.
Вероятности , обычно очень малы. В связи с этим при большом числе \(n\) в схеме Бернулли для числа \(k\) «успехов» целесообразно определить не одно точное значение, а некоторый диапазон, в пределах которых допустимо изменение числа \(k\).
— такая запись показывает, что число «успехов» \(k\) в \(n\) испытаниях Бернулли находится в диапазоне от до .
\(Ф(x)\) - площадь заштрихованной фигуры.
График функции :
Алгоритм использования функции \(y= Ф(x)\) в приближённых вычислениях:
- проверить справедливость неравенства \(npq ≥ 10\);
- вычислить и по формулам:
; - по таблице вычислить значения и ;
- найти разность :
.
Источники:
Рис. 1, 2. Графики, © ЯКласс.