Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления случайного события $A$ равна $P(A)$.

Обрати внимание!

Нам известна формула $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ , где $\bar{A}$ — событие, противоположное событию $A$.

Значит, $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ . Будем рассматривать исходное испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один состоит в том, что событие $A$ произойдёт, а другой состоит в том, что событие $A$ не произойдёт, т. е. произойдёт событие $\bar{A}$ . Для краткости назовём первый исход (наступление события $A$) «успехом», а второй исход (наступление события $\bar{A}$ ) — «неудачей». Вероятность «успеха» обозначим $P (A) = p$ , а вероятность «неудачи» обозначим $q; q = P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - p$ .

Схема Бернулли

Рассматривают $n$ независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна $p$, а вероятность «неудачи» равна $q$, $p+q=1$. Требуется найти вероятность $P_{n} (k)$ того, что в этих $n$ повторениях произойдёт ровно $k$ «успехов».

Про $n$ независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами более кратко говорят, как об $n$ испытаниях Бернулли. Точный ответ на поставленный вопрос даёт следующая теорема.

Теорема Бернулли

Вероятность $P_{n} (k)$ наступления ровно $k$ «успехов» в $n$ независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле $P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k},$ где $p$ — вероятность «успеха», а $q=1-p$ — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Пример:

каждый из четырёх приятелей выучил ровно $5$ вопросов из $20$ заданных к зачёту. На зачёте они отвечали в разных аудиториях и получали вопросы независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:

а) каждому достался тот вопрос, который он выучил;

б) никому не достался вопрос, который он выучил;

в) только одному из приятелей достался тот вопрос, который он не выучил;

г) хотя бы одному из приятелей достался тот вопрос, который он выучил.

Решение. Если кому-то достался известный ему вопрос, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из приятелей, готовившихся к зачёту, одна и та же: она равна $\frac{5}{20} = 0,25$ . Поэтому можно считать, что мы имеем дело с $n=4$ испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании $p=0,25$.

а) В этом случае $k=n=4$, и поэтому $P_{4} (4) = C_{4}^{4} p^{4} q^{4 - 4} = {0,25}^{4} \approx 0,004$ .

б) В этом случае $k=0$, и поэтому $P_{4} (0) = C_{4}^{0} p^{0} q^{4 - 0} = {0,75}^{4} \approx 0,316$ .

в) Здесь $k=3$, и поэтому $P_{4} (3) = C_{4}^{3} p^{3} q^{4 - 3} = 4 \cdot {0,25}^{3} \cdot 0,75 \approx 0,047$ .

г) Событие, противоположное заданному, состоит в том, что никому из приятелей не достался известный ему вопрос, т. е. что произошло $k=0$ «успехов». Вероятность такой общей неудачи уже посчитана в пункте б). Значит, нужная нам вероятность равна $1 - P_{4} (0) = 1 - {0,75}^{4} \approx 0,684$ .

Теорема

Наиболее вероятное число «успехов» в $n$ испытаниях Бернулли приближённо равно $np$, где $p$ — вероятность «успеха» в отдельном испытании.

Сформулируем следующее правило.

Для того чтобы найти наивероятнейшее число $k_{наивер}$ «успехов» в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной $p$, следует:

1) вычислить число $np$;

2) от числа $np$ на координатной прямой отложить $q$ влево и $p$ вправо;

3) целое число, лежащее на отрезке $[np - q; np + p]$ единичной длины, и будет равно $k_{наивер}$ ; если таких целых чисел два, то $k_{наивер}$ может равняться любому из них.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

2. Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Теория: