Теория:

Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления случайного события \(A\) равна \(P(A)\).

Обрати внимание!

Мы знаем формулу P(A)+P(A¯)=1, где A¯ — событие, противоположное событию \(A\).

Значит, P(A¯)=1P(A). Нужно рассмотреть исходное испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один из которых состоит в том, что событие \(A\) произойдёт, а другой состоит в том, что событие \(A\) не произойдёт, т. е. произойдёт событие A¯. Удобнее использовать такие формулировки: первый исход (наступление события \(A\)) «успех», а второй исход (наступление события A¯) — «неудача». Обозначим вероятность «успеха» через P(A)=p, а вероятность «неудачи» через q;q=P(A¯)=1P(A)=1p.

Схема Бернулли

Рассматривают \(n\) независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна \(p\), а вероятность «неудачи» равна \(q\), \(p+q=1\). Требуется найти вероятность Pn(k) того, что в этих \(n\) повторениях произойдёт ровно \(k\) «успехов».

Если речь идёт об одном и том же испытании с двумя вариантами исходов, причём с числом \(n\) независимых повторений, то используют термин \(n\) испытаний  Бернулли. Теорема Бернулли даёт чёткое представление об этом.

Теорема Бернулли

Вероятность Pn(k) наступления ровно \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле Pn(k)=Cnkpkqnk, где \(p\) — вероятность «успеха», а \(q=1-p\) — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Пример:

каждый из пяти студентов выучил ровно \(6\) билетов из \(30\) заданных к экзамену. На экзамене они отвечали в разных аудиториях и получали билеты независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:

а) каждому достался тот билет, который он выучил;

б) никому не достался билет, который он выучил;

в) только одному из студентов достался тот билет, который он не выучил;

г) хотя бы одному из студентов достался тот билет, который он выучил.

Решение. Если кому-то достался известный ему билет, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из студентов, готовившихся к экзамену, одинакова: она равна 630=0,2. Поэтому можно считать, что мы имеем дело с \(n=5\) испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании \(p=0,2\).

а) В этом случае \(k=n=5\), и поэтому P5(5)=C55p5q55=0,25=0,00032.

б) В этом случае \(k=0\), и поэтому P5(0)=C50p0q50=0,85=0,32768.

в) Здесь \(k=4\), и поэтому P5(4)=C54p4q54=50,240,8=0,0064.

г) Искомую вероятность удобнее найти через вероятность противоположного события  (никому из студентов не достался выученный билет). Вероятность, что произошло \(k=0\) «успехов» была найдена в пункте б). Поэтому вероятность того, что никому не достался выученный билет, равна 1P5(0)=10,85=0,67232.

Теорема

Наиболее вероятное число «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли приближённо равно \(np\), где \(p\) — вероятность «успеха» в отдельном испытании.

Алгоритм поиска наивероятнейшего числа «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной \(p\) выглядит следующим образом.

Для поиска наивероятнейшего числа kнаивер «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной \(p\), необходимо:

1) определить значение \(np\);

2) от значения \(np\) на числовой прямой отложить \(q\) влево и \(p\) вправо;

3) целое число, лежащее на отрезке npq;np+p единичной длины, и будет равно kнаивер; если таких целых чисел два, то kнаивер может равняться любому из них.