Теория:

Пусть при некотором испытании вероятность наступления случайного события \(A\) равна \(P(A)\). Тогда вероятность противоположного события равна P(A¯)=1P(A).

Назовём «успехом» наступление случайного события \(A\),  вероятность «успеха» равна P(A)=p.

Назовём «неудачей» — не наступление события \(A\). Обозначим вероятность «неудачи» \(q\), тогда q=P(A¯)=1P(A)=1p.

Схема Бернулли

Рассматривают \(n\) независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» обозначают через \(p\), тогда вероятность «неудачи» будет \(q\), где \(p+q=1\). Необходимо определить вероятность Pn(k) того, что в этих \(n\) повторениях произойдёт ровно \(k\) «успехов».

Если речь идёт об одном и том же испытании с двумя вариантами исходов, причём с числом \(n\) независимых повторений, то используют термин \(n\) испытаний  Бернулли. Теорема Бернулли даёт чёткое представление об этом.

Теорема Бернулли

Вероятность Pn(k) наступления ровно \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле Pn(k)=Cnkpkqnk, где \(p\) — вероятность «успеха», а \(q=1-p\) — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Пример:

у дедушки пять внуков, и каждому он подарил одинаковые наборы разноцветных карандашей. Известно, что каждому внуку нравится ровно \(6\) цветов из \(30\) в наборе. Внуки сели рисовать и каждый независимо друг от друга вытащил не глядя первый попавшийся карандаш из своей коробки. Найти вероятность того, что:

а) каждый вынул тот цвет, который ему нравится;

б) никто не вынул цвет, который ему нравится;

в) только один из внуков вынул цвет, который ему не нравится;

г) хотя бы один из внуков вынул цвет, который ему нравится.

Решение. Случай, когда кто-то из внуков вынул цвет, который ему нравится, будем считать «успехом», вероятность которого составляет: 630=0,2. Тогда вполне допустимо, что у нас \(n=5\) испытаний Бернулли с вероятностью «успеха» в каждом испытании \(p=0,2\).

а) \(k=n=5\), тогда P5(5)=C55p5q55=0,25=0,00032.

б) \(k=0\), тогда P5(0)=C50p0q50=0,85=0,32768.

в) \(k=4\), тогда P5(4)=C54p4q54=50,240,8=0,0064.

г) Событие «хотя бы один из внуков вынул цвет, который ему нравится» противоположно событию «никто из внуков не вынул цвет, который ему нравится» (см. пункт б). По формуле нахождения противоположного события искомая вероятность равна 1P5(0)=10,85=0,67232.

Теорема

Наиболее вероятное число «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли приближённо равно \(np\), где \(p\) — вероятность «успеха» в отдельном испытании.

Алгоритм поиска наивероятнейшего числа «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной \(p\) выглядит следующим образом.

Для поиска наивероятнейшего числа kнаивер «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной \(p\), необходимо:

1) определить значение \(np\);

2) от значения \(np\) на числовой прямой отложить \(q\) влево и \(p\) вправо;

3) целое число, лежащее на отрезке npq;np+p единичной длины, и будет равно kнаивер; если таких целых чисел два, то kнаивер может равняться любому из них.