Теория:
Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления случайного события \(A\) равна \(P(A)\).
Мы знаем формулу , где — событие, противоположное событию \(A\).
Значит, . Нужно рассмотреть исходное испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один из которых состоит в том, что событие \(A\) произойдёт, а другой состоит в том, что событие \(A\) не произойдёт, т. е. произойдёт событие . Удобнее использовать такие формулировки: первый исход (наступление события \(A\)) «успех», а второй исход (наступление события ) — «неудача». Обозначим вероятность «успеха» через , а вероятность «неудачи» через .
Схема Бернулли
Рассматривают \(n\) независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна \(p\), а вероятность «неудачи» равна \(q\), \(p+q=1\). Требуется найти вероятность того, что в этих \(n\) повторениях произойдёт ровно \(k\) «успехов».
Если речь идёт об одном и том же испытании с двумя вариантами исходов, причём с числом \(n\) независимых повторений, то используют термин \(n\) испытаний Бернулли. Теорема Бернулли даёт чёткое представление об этом.
Теорема Бернулли
Вероятность наступления ровно \(k\) «успехов» в \(n\) независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле где \(p\) — вероятность «успеха», а \(q=1-p\) — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.
каждый из пяти студентов выучил ровно \(6\) билетов из \(30\) заданных к экзамену. На экзамене они отвечали в разных аудиториях и получали билеты независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:
а) каждому достался тот билет, который он выучил;
б) никому не достался билет, который он выучил;
в) только одному из студентов достался тот билет, который он не выучил;
г) хотя бы одному из студентов достался тот билет, который он выучил.
Решение. Если кому-то достался известный ему билет, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из студентов, готовившихся к экзамену, одинакова: она равна . Поэтому можно считать, что мы имеем дело с \(n=5\) испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании \(p=0,2\).
а) В этом случае \(k=n=5\), и поэтому .
б) В этом случае \(k=0\), и поэтому .
в) Здесь \(k=4\), и поэтому .
г) Искомую вероятность удобнее найти через вероятность противоположного события (никому из студентов не достался выученный билет). Вероятность, что произошло \(k=0\) «успехов» была найдена в пункте б). Поэтому вероятность того, что никому не достался выученный билет, равна .
Теорема
Наиболее вероятное число «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли приближённо равно \(np\), где \(p\) — вероятность «успеха» в отдельном испытании.
Алгоритм поиска наивероятнейшего числа «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной \(p\) выглядит следующим образом.
Для поиска наивероятнейшего числа «успехов» в \(n\) испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной \(p\), необходимо:
1) определить значение \(np\);
2) от значения \(np\) на числовой прямой отложить \(q\) влево и \(p\) вправо;
3) целое число, лежащее на отрезке единичной длины, и будет равно ; если таких целых чисел два, то может равняться любому из них.