Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Рассмотрим испытание, в котором вероятность наступления случайного события $A$ равна $P(A)$.

Обрати внимание!

Мы знаем формулу $P (A) + P (\bar{A}) = 1$ , где $\bar{A}$ — событие, противоположное событию $A$.

Значит, $P (\bar{A}) = 1 - P (A)$ . Нужно рассмотреть исходное испытание как испытание только с двумя возможными исходами: один из которых состоит в том, что событие $A$ произойдёт, а другой состоит в том, что событие $A$ не произойдёт, т. е. произойдёт событие $\bar{A}$ . Удобнее использовать такие формулировки: первый исход (наступление события $A$) «успех», а второй исход (наступление события $\bar{A}$ ) — «неудача». Обозначим вероятность «успеха» через $P (A) = p$ , а вероятность «неудачи» через $q; q = P (\bar{A}) = 1 - P (A) = 1 - p$ .

Схема Бернулли

Рассматривают $n$ независимых повторений одного и того же испытания с двумя возможными исходами: «успехом» и «неудачей». Вероятность «успеха» равна $p$, а вероятность «неудачи» равна $q$, $p+q=1$. Требуется найти вероятность $P_{n} (k)$ того, что в этих $n$ повторениях произойдёт ровно $k$ «успехов».

Если речь идёт об одном и том же испытании с двумя вариантами исходов, причём с числом $n$ независимых повторений, то используют термин $n$ испытаний Бернулли. Теорема Бернулли даёт чёткое представление об этом.

Теорема Бернулли

Вероятность $P_{n} (k)$ наступления ровно $k$ «успехов» в $n$ независимых повторениях одного и того же испытания вычисляется по формуле $P_{n} (k) = C_{n}^{k} p^{k} q^{n - k},$ где $p$ — вероятность «успеха», а $q=1-p$ — вероятность «неудачи» в отдельном испытании.

Пример:

каждый из пяти студентов выучил ровно $6$ билетов из $30$ заданных к экзамену. На экзамене они отвечали в разных аудиториях и получали билеты независимо друг от друга. Найти вероятность того, что:

а) каждому достался тот билет, который он выучил;

б) никому не достался билет, который он выучил;

в) только одному из студентов достался тот билет, который он не выучил;

г) хотя бы одному из студентов достался тот билет, который он выучил.

Решение. Если кому-то достался известный ему билет, то это «успех». Вероятность «успеха» у каждого из студентов, готовившихся к экзамену, одинакова: она равна $\frac{6}{30} = 0,2$ . Поэтому можно считать, что мы имеем дело с $n=5$ испытаниями Бернулли с вероятностью «успеха» в отдельном испытании $p=0,2$.

а) В этом случае $k=n=5$, и поэтому $P_{5} (5) = C_{5}^{5} p^{5} q^{5 - 5} = {0,2}^{5} = 0,00032$ .

б) В этом случае $k=0$, и поэтому $P_{5} (0) = C_{5}^{0} p^{0} q^{5 - 0} = {0,8}^{5} = 0,32768$ .

в) Здесь $k=4$, и поэтому $P_{5} (4) = C_{5}^{4} p^{4} q^{5 - 4} = 5 \cdot {0,2}^{4} \cdot 0,8 = 0,0064$ .

г) Искомую вероятность удобнее найти через вероятность противоположного события (никому из студентов не достался выученный билет). Вероятность, что произошло $k=0$ «успехов» была найдена в пункте б). Поэтому вероятность того, что никому не достался выученный билет, равна $1 - P_{5} (0) = 1 - {0,8}^{5} = 0,67232$ .

Теорема

Наиболее вероятное число «успехов» в $n$ испытаниях Бернулли приближённо равно $np$, где $p$ — вероятность «успеха» в отдельном испытании.

Алгоритм поиска наивероятнейшего числа «успехов» в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной $p$ выглядит следующим образом.

Для поиска наивероятнейшего числа $k_{наивер}$ «успехов» в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью «успеха», равной $p$, необходимо:

1) определить значение $np$;

2) от значения $np$ на числовой прямой отложить $q$ влево и $p$ вправо;

3) целое число, лежащее на отрезке $[np - q; np + p]$ единичной длины, и будет равно $k_{наивер}$ ; если таких целых чисел два, то $k_{наивер}$ может равняться любому из них.

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

2. Независимые повторения испытаний с двумя исходами

Теория: