Теория:
Предположим, что из колоды в \(36\) карт извлекается одна карта и рассматриваются: событие \(A\) — извлечена карта трефовой масти, событие \(B\) — извлечена дама треф. Между событиями \(A\) и \(B\) очевидно наличие какой-то зависимости. Действительно, из \(9\) случаев, благоприятствующих событию \(A\), событию \(B\) благоприятствует один; поэтому при наступлении события \(A\) вероятность события \(B\) равна . Но при отсутствии информации о наступлении события \(A\) вероятность события \(B\) оценивается как равная . Так как , то очевидно, что наступление события \(A\) повышает шансы события \(B\).
Часто о независимости событий удаётся судить на основании того, как организован опыт, в котором они происходят. Независимые события появляются тогда, когда опыт состоит из нескольких независимых испытаний (как, например, было в рассмотренном опыте с бросанием двух игральных костей). Если независимость испытаний не очевидна, то независимость событий \(A\) и \(B\) проверяется с помощью формулы:
события \(A\) и \(B\) называют независимыми, если выполняется равенство .
рассмотрим опыт с бросанием двух игральных кубиков и исследуем два события: \(A\) — на первом кубике выпало \(6\) очков, \(B\) — на втором кубике выпало \(6\) очков. Выясним, будут ли события \(A\) и \(B\) независимыми.
Появление любого числа очков на первом кубике (в частности, наступление события \(A\)) не влияет на событие \(B\) и на его вероятность. И наоборот, наступление или не наступление события \(B\) не влияет на вероятность события \(A\). Таким образом,
.
Событие \(AB\) состоит в совместном наступлении событий \(A\) и \(B\). Элементарные исходы испытания — это пары чисел, в которых на первом месте стоит число очков первого кубика, на втором — число очков второго кубика. Всего элементарных исходов испытания . Среди них присутствует лишь одна пара (\(6\) и \(6\) очков), благоприятствующая событию \(AB\), т. е. . Таким образом,
, т. е. события \(A\) и \(B\) независимые.