Сложение вероятностей — урок. Алгебра, 11 класс.

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е.

P (A + B) = P (A) + P (B)

События являются несовместными, или несовместимыми если появление одного из них исключает появление другого.

В ящике лежат $9$ шаров, из которых $2$ белых, $3$ красных и $4$ зелёных. Наугад берётся один шар. Какова вероятность того, что этот шар цветной (не белый)?

Пример:

1 способ. Пусть событие $A$ — появление красного шара, событие $B$ — появление зелёного шара, тогда событие $A+B$ — появление цветного шара. Очевидно, что

$\begin{array}{l} P (A) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}; \\ P (B) = \frac{4}{9} . \end{array}$

Так как события $A$ и $B$ несовместны, к ним применима теорема сложения вероятностей:

$P (A + B) = P (A) + P (B) = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} = \frac{7}{9}$ .

Следствие. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P (A) + P (\bar{A}) = 1

Пример:

2 способ. Пусть событие $C$ — появление белого шара, тогда противоположное ему событие $\bar{C}$ — появление не белого (цветного) шара. Очевидно, что $P (C) = \frac{2}{9}$ , а согласно следствию из теоремы имеем $P (\bar{C}) = 1 - P (C) = 1 - \frac{2}{9} = \frac{7}{9}$ .

Замечания

1) Теорема, аналогичная первой теореме, верна для любого конкретного числа событий, т. е.

P (A_{1} + A_{2} + ... + A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + ... + P (A_{n})

, где

A_{1}; A_{2} ... A_{n}

— попарно несовместные события.

2) Если $A_{1}; A_{2} ... A_{n}$ — все элементарные события некоторого испытания, то их совокупность называют полем событий. Очевидно, что эти события попарно несовместны, и $A_{1} + A_{2} + ... + A_{n} = U$ , где $U$ — достоверное событие.

$P (U) = P (A_{1} + A_{2} + ... + A_{n}) = P (A_{1}) + P (A_{2}) + ... + P (A_{n}) = 1$ .

Вернуться в тему

Следующее задание

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Сложение вероятностей

Теория: