Теория:

Решение логарифмических неравенств основано на монотонности логарифмической функции.
Поэтому решение неравенств вида logafx>logagx сводится к решению соответствующих неравенств для функций \(f(x)\) и \(g(x)\).
 
Обрати внимание!
Если основание \(a>1\), то переходят к неравенству  \(f(x) > g(x)\) (знак неравенства не меняется), т. к. в этом случае логарифмическая функция возрастающая.
 
Если основание \(0 < a < 1\), то переходят к неравенству \(f(x)< g(x)\) (знак неравенства меняется), т. к. в этом случае логарифмическая функция убывающая.
 
В обоих случаях дополнительно находят ОДЗ:
fx>0gx>0
— при условии, что основание a>0,a1.
 
Полученное множество решений неравенства должно входить в ОДЗ, поэтому находят пересечение множеств.
Пример:
реши неравенство log23x<1.
Решение
log23x<1;ОДЗ:log23x<log221;3x>0;log23x<log20,5;x>3;3x<0,5;x<3;x<0,53;x(;3).x<2,5;x>2,5;x2,5;+;
 
x2,5;+x;3
 
71.png
                   \(2,5\)                       \(3\)          
  
Ответ: x2,5;3.
Пример:
решить неравенство log0,5x2log0,52x12.
Решение   
ОДЗ:x2>02x12>0x>22x>12x>2x>6x>6x6;+.
 
log0,5x2log0,52x12;x22x12;x2x12+2;x10;x10;
 
x[10;+)x6;+
 
100.png
        \(6\)                         \(10\)                    
  
Ответ: x[10;+).