Возведение корня в натуральную степень

Свойства формулируются только для неотрицательных значений переменных, содержащихся под знаками корней.

Если \(a\) — неотрицательное, \(k\) — натуральное число и \(n\) —
натуральное число, большее \(1\), то справедливо равенство:

{(\sqrt[n]{a})}^{k} = \sqrt[n]{a^{k}}

(чтобы возвести корень в натуральную степень, достаточно возвести в эту степень подкоренное выражение).

Пример:

{(\sqrt[11]{3})}^{2} = \sqrt[11]{3^{2}} = \sqrt[11]{9}

Если \(a\) — неотрицательное, то

{(\sqrt[n]{a})}^{n} = a

, а также

\sqrt[n]{a^{n}} = a

Пример:

1. вычислить:

{(\sqrt[13]{0,5})}^{13}

;

\sqrt[7]{25^{7}}

Решение:

{(\sqrt[13]{0,5})}^{13} = 0,5

;

\sqrt[7]{25^{7}} = 25

2. Упростить:

\sqrt{b^{6}}

Решение:

представим подкоренное выражение во второй степени:

b^{6} = b^{3 \cdot 2} = {(b^{3})}^{2}

;

\sqrt{b^{6}} = \sqrt{b^{3 \cdot 2}} = \sqrt{{(b^{3})}^{2}} = b^{3}

3. Вычислить:

\sqrt[9]{5^{18}}

Решение:

представим подкоренное выражение в виде \(9\) степени:

5^{18} = 5^{2 \cdot 9} = {(5^{2})}^{9}

;

\sqrt[9]{5^{18}} = \sqrt[9]{5^{2 \cdot 9}} = \sqrt[9]{{(5^{2})}^{9}} = 5^{2} = 25

Нашёл ошибку?

5. Возведение корня в натуральную степень