Решение уравнения методом введения новой переменной — урок. Алгебра, 11 класс.

Метод введения новой переменной:

1. в уравнении какая-то его часть заменяется другой переменной (\(a\), \(y\), \(t\)...)

(прежнее неизвестное одновременно с новым в уравнении быть не может);

2. решается новое уравнение;

3. возвращаются к обозначенному и, используя полученное число (корни), вычисляют требуемое неизвестное.

Пример:

реши уравнение

{(2x - 21)}^{2} - 5 (2 x - 21) + 4 = 0

.

Это уравнение можно решить и без использования новой переменной (раскрываются скобки по формуле разности квадратов и т. д.), но решение будет длинным и с большими числами.

Используем то, что обе скобки равны.

Обозначаем \(2x-21 = y\). Получается простое квадратное уравнение:

\begin{array}{l} y^{2} - 5 y + 4 = 0 по теореме Виета; \\ y_{1} = 4, y_{2} = 1 . \end{array}

Возвращаемся к обозначенному:

1) \(2x - 21 = 4\);
\(2x = 25\);

\(x = 12,5\)

2) \(2x - 21 = 1\);

\(2x = 22\);

\(x = 11\)

Ответ: \(x = 12,5\); \(x = 11\).

Методом введения новой переменной решаются биквадратные уравнения:

\begin{array}{l} a x^{4} + b x^{2} + c = 0, где a, b, c \in R; \\ x^{2} = y; \\ a y^{2} + by + c = 0 . \end{array}

В биквадратных уравнениях всегда используется новая переменная.

Получается квадратное уравнение.

Пример:

реши уравнение:

\begin{array}{l} x^{4} - 13 x^{2} + 12 = 0; \\ x^{2} = y, тогда y^{2} - 13 y + 12 = 0; \\ y_{1} = 12, y_{2} = 1 . \\ 1) x^{2} = 12; x = \pm \sqrt{12} = \pm 2 \sqrt{3}; \\ 2) x^{2} = 1, x = \pm 1 . \\ Ответ : \{- 2 \sqrt{3}; - 1; 2 \sqrt{3}; 1\} . \end{array}

Какую замену можно использовать в этом уравнении?

\begin{array}{l} \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 11} = 2 . Стараемся выгодно обозначить . \\ \frac{4}{x^{2} + 10} + \frac{5}{x^{2} + 10 + 1} = 2; x^{2} + 10 = y; \\ \frac{4}{y} + \frac{5}{y + 1} = 2 . \end{array}

Предыдущая теория

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!