Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x) = g(x)

Общие методы решения уравнений

1. Замена уравнения

h (f (x)) = h (g (x))

уравнением

f (x) = g (x)

Этот метод применяется при решении:

а) показательных уравнений, когда от уравнения вида

a^{f (x)} = a^{g (x)} (a > 0, a \neq 1)

переходим к уравнению

f (x) = g (x)

;

б) логарифмических уравнений, когда от уравнения вида

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) (a > 0, a \neq 1)

переходим к уравнению

f (x) = g (x)

;

в) иррациональных уравнений, когда от уравнения вида

\sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{g (x)}

переходим к уравнению

f (x) = g (x)

Обрати внимание!

Этот метод можно применять только в том случае, когда \(y=h(x)\) — монотонная функция, которая каждое своё значение принимает по одному разу.

Пример:

решить уравнение:

{(2 x + 3)}^{7} = {(5 x - 9)}^{7}

Так как функция

y = x^{7}

— возрастающая функция, то можно перейти к уравнению:

2 x + 3 = 5 x - 9

Решив его, получим, что \(x=4\).

Обрати внимание!

Если \(y=h(x)\) — немонотонная функция, то указанный метод применять нельзя, так как возможна потеря корней.

Например, нельзя заменить уравнение

{(2 x + 3)}^{4} = {(5 x - 9)}^{4}

уравнением вида

2 x + 3 = 5 x - 9

, корнем которого является \(x=4\).

При таком переходе «потерялся» корень

x = \frac{6}{7}

Причина в том, что функция

y = x^{4}

— немонотонная функция.

Нашёл ошибку?

1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x) = g(x)