Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x) = g(x)

При решении показательного, логарифмического или иррационального уравнения оно заменяется более простым.

Уравнение вида

h (f (x)) = h (g (x))

заменяется уравнением

f (x) = g (x)

То есть заменяем:

а) показательное уравнение вида

a^{f (x)} = a^{g (x)} (a > 0, a \neq 1)

уравнением

f (x) = g (x)

;

б) логарифмическое уравнение вида

\log_{a} f (x) = \log_{a} g (x) (a > 0, a \neq 1)

уравнением

f (x) = g (x)

;

в) иррациональное уравнение вида

\sqrt[n]{f (x)} = \sqrt[n]{g (x)}

уравнением

f (x) = g (x)

Обрати внимание!

Эту замену можно делать только тогда, когда функция каждое своё значение принимает по одному разу на области определения, то есть функция \(y=h(x)\) является монотонной.

Пример:

решить уравнение:

{(2 x + 3)}^{7} = {(5 x - 9)}^{7}

Так как функция

y = x^{7}

— возрастающая функция, то можно перейти к уравнению:

2 x + 3 = 5 x - 9

Решим его, получим: \(x=4\).

Обрати внимание!

Если функция \(y=h(x)\) не является монотонной, то такую замену делать нельзя, чтобы не потерять корни.

Например, нельзя заменить уравнение

{(2 x + 3)}^{4} = {(5 x - 9)}^{4}

уравнением вида

2 x + 3 = 5 x - 9

, корнем которого является \(x=4\).

При таком переходе «потерялся» корень

x = \frac{6}{7}

Причина в том, что функция

y = x^{4}

— немонотонная функция.

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) на уравнение f(x) = g(x)

Теория: