Теория:

Решением неравенства f(x)>g(x) называют всякое значение переменной \(x\), которое обращает заданное неравенство с переменной в верное числовое неравенство.
Этот термин применяют для обозначения и общего решения, и частного решения, и процесса.
 
Определение 1. 
Два неравенства с одной переменной — f(x)>g(x) и p(x)>h(x) — называются равносильными, если их решения совпадают.
Вместо знака \(>\) может стоять любой другой знак неравенства (меньше, меньше либо равно, больше либо равно).
 
Определение 2.
Если решение неравенства  p(x)>h(x)               \((1)\)
включает решение неравенства f(x)>g(x),      \((2)\)
то неравенство \((1)\) является следствием неравенства \((2)\).
Покажем, что неравенство 3x2x+2>1 — следствие неравенства 3x>2x+2. Действительно, решим каждое неравенство:
3x2x+21>0;x22x+2>0;x(;1)(2;+)           и                                3x>2x+2;x>2;x(2;+).
 
промежуток.png промежуток 1.png
Неравенство 3x2x+2>1 является следствием неравенства 3x>2x+2, так как решение второго неравенства является решением первого неравенства.
 
При решении неравенств используют \(6\) теорем о равносильности.
 
Теорема 1.
Если какой-либо член неравенства перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 2.
Если обе части неравенства возвести в одну и ту же нечётную степень, оставив знак неравенства без изменения, то получится неравенство, равносильное данному.
Теорема 3.
Показательное неравенство af(x)>ag(x) равносильно:
 
а) неравенству f(x)>g(x), при \(a>1\);
б) неравенству f(x)<g(x), при \(0<a<1\).
Теорема 4.
a) При умножении обеих частей неравенства f(x)>g(x)  на одинаковое выражение \(h(x)\), положительное при всех \(x\) из области определения (области допустимых значений переменной) неравенства f(x)>g(x), оставив при этом знак неравенства без изменения, получаем неравенство f(x)h(x)>g(x)h(x), равносильное данному.
 
б) При умножении обеих частей неравенства f(x)>g(x) на одинаковое выражение \(h(x)\), отрицательное при всех \(x\) из области определения неравенства f(x)>g(x), изменяя при этом знак неравенства на противоположный, получаем равносильное данному неравенство f(x)h(x)<g(x)h(x).
Теорема 5.
Если обе части неравенства f(x)>g(x) неотрицательны в области его определения (в ОДЗ), то после возведения обеих частей неравенства в одну и ту же чётную степень \(n\) получится неравенство того же смысла f(x)n>g(x)n, равносильное данному.
Теорема 6.
Если f(x)>0 и g(x)>0, то логарифмическое неравенство logaf(x)>logag(x) равносильно:
 
а) неравенству того же смысла f(x)>g(x), если \(a>1\);
б) неравенству противоположного смысла f(x)<g(x), если \(0<a<1\).