Теория:
Проверка корней и потеря корней
В ходе решения уравнений, выполняя различные преобразования, можем получить уравнение-следствие. Это может произойти, если применить одну из теорем — \(4\), \(5\) или \(6\) — не проверив факт выполнения ограничений, заложенных в формулировке теоремы.
Пример:
возведём в квадрат обе части уравнения .
Получим уравнение, решив которое, имеем в ответе два корня:
Причина его появления в том, что по теореме \(5\) обе части уравнения при возведении его в одну и ту же чётную степень должны быть неотрицательны. Но относительно выражения \(x-1\) утверждать этого нельзя.
В ходе решения уравнений может произойти расширение области определения уравнения, если:
1) происходит освобождение от знаменателей, содержащих переменную;
2) происходит освобождение от знаков корней чётной степени;
3) происходит освобождение от знаков логарифмов.
Обрати внимание!
При преобразовании исходного уравнения в уравнение-следствие обязательна проверка всех найденных корней, чтобы выявить посторонний корень.
Проверка необходима, если:
1) произошло расширение области определения уравнения;
2) осуществлялось возведение обеих частей уравнения в одну и ту же чётную степень;
3) выполнялось умножение обеих частей уравнения на одно и то же выражение с переменной (имеющее смысл во всей области определения уравнения).
При решении уравнений, при замене одного уравнения другим может как появиться посторонний корень, так и потеряться какой-то корень.
Потеря корня может произойти, если:
1) разделить обе части уравнения на одно и то же выражение \(h(x)\) (кроме тех случаев, когда точно известно, что всюду в области определения уравнения выполняется условие );
2) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.
Пример:
реши уравнение:
.
Решим уравнение двумя способами:
Сравнивая эти два способа, замечаем, что при решении вторым способом «потерялся» корень \(x=-100\).
Причина здесь — в неправильном применении формулы, которая сузила область определения выражения, т. е. вместо правильной формулы
(где область определения \(x\) — любое число, кроме \(0\)) мы воспользовались неправильной формулой , где область определения \(x>0\), т. е. только положительные числа. Из области определения «выпал» открытый луч , где как раз и находится «потерявшийся» при втором способе решения корень уравнения.
Поэтому, применяя при решении уравнения какую-либо формулу, необходимо проследить, чтобы в правой и левой части формулы ОДЗ переменной были бы одинаковыми.