Теория:
Линейная функция — это функция, которую можно задать формулой
\(y = kx + m\), где \(x\) — независимая переменная, \(k\) и \(m\) — некоторые числа.
Применяя эту формулу, зная конкретное значение \(x\), можно вычислить соответствующее значение \(y\).
Пусть \(y = 0,5x - 2\).
Тогда:
при \(x = 0\) получим \(y = - 2\);
при \(x = 2\), получим \(y = - 1\);
при \(x = 4\), получим \(y = 0\) и т. д.
Результаты заносим в таблицу:
\(x\) | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
\(y\) | \(-2\) | \(-1\) | \(0\) |
\(x\) — независимая переменная (или аргумент),
\(y\) — зависимая переменная.
Графиком линейной функции \(y = kx + m\) является прямая.
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((0;-2)\) и \((4;0)\) и
проведём через них прямую.

В жизни существует множество ситуаций, которые можно описать математической моделью с помощью линейных функций.
Пример:
на складе хранится \(700\) т торфа. Ежедневно стали подвозить по \(30\) т торфа. Сколько торфа будет на складе через \(2\); \(4\); \(10\) дней?
Таким образом, линейная функция \(y = 30x + 700\) есть математическая модель ситуации.
При \(x = 2\) имеем \(y = 760\);
при \(x = 4\) имеем \(y = 820\);
при \(x = 10\) имеем \(y = 1000\) и т. д.
Если линейную функцию \(y = kx + m\) надо рассматривать не при всех значениях \(x\), а лишь для значений \(x\) из некоторого числового множества \(X\), то пишут .
Пример:
построить график линейной функции:
a) ; b) .
\(x\) | \(-3\) | \(2\) |
\(y\) | \(7\) | \(-3\) |
Построим на координатной плоскости \(xOy\) точки \((-3;7)\) и \((2;-3)\) и
проведём через них прямую.
Далее выделим отрезок, соединяющий построенные точки.
Этот отрезок и есть график линейной функции .
Точки \((-3\); \(7)\) и \((2\); \(-3)\) на рисунке отмечены тёмными кружочками.

b) Во втором случае функция та же, только значения \(x=-3\) и \(x=2\) не рассматриваются, так как они не принадлежат интервалу \((-3;2)\).
Поэтому точки \((-3\); \(7)\) и \((2\); \(-3)\) на рисунке отмечены светлыми кружочками.

Рассматривая график линейной функции на отрезке, можно назвать наибольшее и наименьшее значения линейной функции.
В случае
a) имеем, что \(= 7\) и \(= -3\);
b) имеем, что ни наибольшего, ни наименьшего значений линейной функции нет, так как концы отрезка, где получаются наибольшее и наименьшее значения, не рассматриваются.
Если \(k>0\), то линейная функция \(y = kx + m\) возрастает;
если \(k<0\), то линейная функция \(y = kx + m\) убывает.