Взаимное расположение графиков линейных функций

Выполняя построение графиков линейных функций, замечаем, что прямые могут пересекаться, быть параллельными или совпадать.

Справедлива следующая теорема:

пусть даны две линейные функции

y = k_{1} x + m_{1}

y = k_{2} x + m_{2}

Прямые, служащие графиками заданных линейных функций:

1) параллельны, если

k_{1} = k_{2}; m_{1} \neq m_{2}

2) совпадают, если

k_{1} = k_{2}; m_{1} = m_{2}

3) пересекаются, если

k_{1} \neq k_{2}

Пример:

1. найти точку пересечения прямых:

y = 2 x - 3

y = 2 - 0,5 x

Для построения графика каждой линейной функции составим таблицу значений.

Для функции

y = 2 x - 3

имеем:

\(x\)	\(0\)	\(2\)
\(y\)	\(-3\)	\(1\)

Через полученные точки проведём прямую

l_{1}

Для функции

y = 2 - 0,5 x

имеем:

\(x\)	\(0\)	\(2\)
\(y\)	\(2\)	\(1\)

Через полученные точки проведём прямую

l_{2}

Прямые

l_{1}

l_{2}

пересекаются в точке \(А(2;1)\).

2. Найти точку пересечения прямых:

y = - 3 x + 1

y = - 3 x + 5

У данных линейных функций одинаковый угловой коэффициент \(k=-3\), значит, прямые

y = - 3 x + 1

y = - 3 x + 5

будут параллельны, т. е. точки пересечения у них нет.

3. Найти точку пересечения прямых:

y = 4 x + 7

y = - 2 x + 7

У данных линейных функций угловые коэффициенты различны:

k_{1} = 4

k_{2} = - 2

— значит, прямые пересекаются в одной точке.

Можно заметить, что обе прямые проходят через точку \((0; 7)\).

Значит, точка \((0;7)\) и есть точка пересечения данных

прямых.

Прямые

y = k_{1} x + m

y = k_{2} x + m

, где

k_{1} \neq k_{2}

, пересекаются в точке \((0; m)\).

Нашёл ошибку?

1. Взаимное расположение графиков линейных функций