Теория:

Математическая модель — это способ описания реальной жизненной ситуации (задачи) с помощью математического языка.
Пусть в трёх зоопарках есть тигры и львы.
В первом зоопарке \(14\) тигров и \(12\) львов,
во втором зоопарке \(11\) тигров и \(11\) львов,
в третьем зоопарке \(8\) тигров и \(17\) львов.
 
Сколько всего тигров и львов в первом зоопарке?
В первом зоопарке всего 14+12=26 тигров и львов.
 
Сколько всего тигров и львов во втором зоопарке?
Во втором зоопарке всего 11+11=22 тигра и льва.
 
Сколько всего тигров и львов в третьем зоопарке?
В третьем зоопарке всего 8+17=25 тигров и львов.
 
Мы трижды выполняли одинаковую операцию: складывали количество тигров и количество львов.
 
Используя математический язык, можно все эти три задачи объединить в одну: в зоопарке живут \(a\) тигров и \(b\) львов. Сколько всего тигров и львов в зоопарке?
Всего тигров и львов \(a + b\). В таком случае говорят, что мы составили математическую модель реальной ситуации.
 
В таблице ниже даны наборы фактических условий, а также их математические модели, где  \(a\) — количество тигров в зоопарке, \(b\) — количество львов в том же зоопарке.
Фактические условияМатематическая модель
1Тигров и львов одинаковое количество (например, второй зоопарк)
\(a = b\)
2Количество львов на \(2\) меньше, чем количество тигров (например,  первый зоопарк)
\(a\) \(– b = 2\),
или \(a = b + 2\),
или \(a\) \(– 2 = b\)
3Тигров на \(9\) меньше, чем львов(например,  третий зоопарк)
\(b\) \(– a = 9\),
или \(b = a + 9\),
или \(a = b - 9\)
 
Зачем нужна математическая модель реальной ситуации, что она даёт, кроме краткой выразительной записи?
Чтобы ответить на этот вопрос, решим следующую задачу.
Пример:
в театральном кружке занимаются мальчики и девочки, при этом девочек в \(3\) раза больше, чем мальчиков. В случае если из этого кружка выйдут \(3\) девочки и присоединится \(3\) мальчика, тогда девочек станет на \(4\) больше, чем мальчиков. Какое количество ребят занимаются в театральном кружке?
Решение:
пусть \(x\) — количество мальчиков в театральном кружке, тогда \(3x\) — количество девочек. Если выйдут  \(3\) девочки, тогда в кружке останется \((3x-3)\) девочек. Если присоединится \(3\) мальчика, то станет \((x+3)\) мальчиков. По условию девочек будет тогда на \(4\) больше, чем мальчиков; на математическом языке это записывается так: 3x3x+3=4.
Полученное уравнение является математической моделью данной задачи. Решаем уравнение, следуя правилам решения уравнений:
3x3x+3=4;3x3x3=4;2x=10;x=5.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи — в театральном кружке \(5\) мальчиков, а значит, \(10\) девочек, так как их было в два раза больше.
Ответ: в классе всего \(15\) ребят.
Можно заметить, что в ходе решения было выделено три этапа рассуждений.
 
Первый этап. Составление математической модели.
Была введена переменная \(x\), и текст задачи переведён на математический язык, т. е. была составлена математическая модель задачи в виде уравнения 3x3x+3=4.
 
Второй этап. Работа с математической моделью.
Здесь было решено уравнение до простого ответа \(x=5\).
 
Третий этап. Формулировка ответа на вопрос задачи.
Используя полученное на втором этапе решение, ответили на вопрос задачи.
 
Такую математическую модель называют алгебраической моделью.
Задание
По данным таблицы построй график изменения суточной температуры:
Время, ч.\(0\)\(2\)\(4\)\(6\)\(8\)\(10\)\(11\)\(14\)\(16\)\(18\)\(22\)\(24\)
Суточная температура, °C\(5\)\(0\)\(0\)\(-3\)\(-4\)\(-2\)\(0\)\(6\)\(8\)\(5\)\(3\)\(3\)
 
Решение:
в прямоугольной системе координат по оси абсцисс (горизонтальная ось) отметим значения времени, по оси ординат (вертикальная ось) будут обозначены значения суточной температуры. Отметим в прямоугольной системе координат точки с координатами соответствующих чисел из таблицы. Итого получим \(12\) точек.
 
7kl.png
 
Чтобы получить график изменения хода суточной температуры, соединим точки плавной линией.
 
7kl.1.png
 
Данный график является математической моделью, которая описывает зависимость среднесуточной температуры от времени. Исследуя полученный график, можно описать словами, что происходило с температурой воздуха в течение суток.
Такая математическая модель называется графической моделью.
Математические модели задаются:
1) словесно — описываются словами;
2) алгебраически — в виде уравнений, неравенств или систем;
3) графически — в виде графиков;
4) геометрически — с помощью геометрических фигур.
В задаче о театральном кружке по словесному описанию мы составили уравнение (алгебраическую модель), а в задании про среднесуточную температуру —  графическую модель.