Формулы сокращённого умножения — урок. Алгебра, 7 класс.

В некоторых случаях умножение многочленов можно выполнить короче, воспользовавшись формулами сокращённого умножения.

Нужно запомнить \(3\) формулы:

1. формула квадрата суммы:

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\begin{array}{l} {(a + b)}^{2} = (a + b) \cdot (a + b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b = \\ = a^{2} + ab + ba + b^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2} . \end{array}

2. Формула квадрата разности:

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого и второго выражений плюс квадрат второго выражения:

\begin{array}{l} {(a - b)}^{2} = (a - b) \cdot (a - b) = a \cdot a + a \cdot (- b) - b \cdot a - b \cdot (- b) = \\ = a^{2} - ab - ba + b^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} . \end{array}

3. Формула разности квадратов:

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений:

\begin{array}{l} (a - b) (a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b = \\ {= a}^{2} + ab - ab - b^{2} = a^{2} - b^{2} . \end{array}

Формула и пример её применения

{(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

Пример:

по формуле:

{(x + 3)}^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} + 6 x + 9

Без формулы (умножение многочлена на многочлен):

\begin{array}{l} {(x + 3)}^{2} = (x + 3) \cdot (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = \\ = x^{2} + 3 x + 3 x + 9 = x^{2} + 6 x + 9 . \end{array}

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

Пример:

по формуле:

{(x - 3)}^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2} = x^{2} - 6 x + 9

Без формулы (умножение многочлена на многочлен):

\begin{array}{l} {(x - 3)}^{2} = (x - 3) \cdot (x - 3) = x \cdot x + x \cdot (- 3) - 3 \cdot x - 3 \cdot (- 3) = \\ x^{2} - 3 x - 3 x + 9 = x^{2} - 6 x + 9 . \end{array}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

Пример:

по формуле:

(x - 3) (x + 3) = x^{2} - 3^{2} = x^{2} - 9

Без формулы (умножение многочлена на многочлен):

(x - 3) (x + 3) = x \cdot x + x \cdot 3 - 3 \cdot x - 3 \cdot 3 = x^{2} + 3 x - 3 x - 9 = x^{2} - 9

Используя формулу, получить результат можно значительно быстрее.

Обрати внимание!

Первая и вторая формулы различаются только знаками.

{(a \pm b)}^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Формулы сокращённого умножения

Теория: