Основные понятия — урок. Алгебра, 7 класс.

Если необходимо найти все пары значений \((x;y)\), удовлетворяющие обоим уравнениям

a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0

a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0

, тогда поставлена задача решить систему уравнений.

Формат записи системы уравнений следующий: каждое уравнение записывают с новой строки, объединив их фигурной скобкой:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y + c_{1} = 0, \\ a_{2} x + b_{2} y + c_{2} = 0 . \end{cases}

Пара значений \((x;y)\), которая сразу является решением обоих уравнений системы, называются решением системы.

Решить систему — это обозначает, что все её решения найдены или установлено, что их нет.

Одним из способов решения системы линейных уравнений является графический способ.

Пример:

1. решить систему уравнений:

\{\begin{cases} x - 3 y + 3 = 0, \\ \frac{1}{3} x - y - 2 = 0 . \end{cases}

График уравнения

x - 3 y + 3 = 0

— прямая.

Найдём два решения уравнения:

\(x\)	\(0\)	\(6\)
\(y\)	\(1\)	\(3\)

В системе координат через полученные две точки проведём прямую

l_{1}

Построим график уравнения

\frac{1}{3} x - y - 2 = 0

. Он тоже является прямой.

Найдём два решения уравнения:

\(x\)	\(0\)	\(6\)
\(y\)	\(-2\)	\(0\)

Через полученные две точки проведём прямую

l_{2}

Прямые

l_{1}

l_{2}

параллельны (не имеют общих точек), значит, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

2. Решить систему уравнений:

\{\begin{cases} 2 x - y - 5 = 0, \\ 2 x + y - 7 = 0 . \end{cases}

Преобразуем каждое уравнение к виду линейной функции. Получим из первого уравнения \(y=2x-5\) и из второго уравнения \(y=-2x+7\).

График уравнения \(y=2x-5\) — прямая. Найдём две точки прямой.

\(x\)	\(0\)	\(3\)
\(y\)	\(-5\)	\(1\)

Через найденные точки построим в прямоугольной системе координат \(xОy\) прямую

l_{1}

График уравнения \(y=-2x+7\) — прямая. Найдём две точки прямой.

\(x\)	\(0\)	\(1\)
\(y\)	\(7\)	\(5\)

Через найденные точки построим прямую

l_{2}

Координаты точки пересечения \(A\) прямых

l_{1}

l_{2}

и есть решение системы.

Ответ: \((3;1)\).

Графический метод не точный, но он позволяет ответить на вопрос о количестве решений.

1. Если прямые пересекаются в одной точке, то координаты этой точки — единственное решение заданной системы.

2. Если прямые параллельны, значит, система не имеет решений (система несовместна).

3. Если прямые совпадают, значит, система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённа).

Нашёл ошибку?

1. Основные понятия