Теория:
Если даны два линейных уравнения с двумя переменными \(x\) и \(y\):
и — и поставлена задача найти такие пары значений \((x;y)\), которые одновременно удовлетворяют и одному, и другому уравнению, то говорят, что заданные уравнения образуют систему уравнений.
Уравнения системы записывают друг под другом и объединяют специальным символом — фигурной скобкой:
Пару значений \((x;y)\), которая одновременно является решением и первого, и второго уравнений системы, называют решением системы.
Решить систему — это значит найти все её решения или установить, что их нет.
Пример:
1. решить систему уравнений:
Графиком уравнения является прямая.
Найдём две пары значений переменных \(x\) и \(y\), удовлетворяющих этому уравнению.
| \(x\) | \(5\) | \(0\) |
| \(y\) | \(0\) | \(2,5\) |
Построим на координатной плоскости \(xОy\) прямую , проходящую через эти две точки.
Графиком уравнения также является прямая.
Найдём две пары значений переменных \(x\) и \(y\), удовлетворяющих этому уравнению.
| \(x\) | \(-1,5\) | \(2,5\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-2\) |
Построим на координатной плоскости \(xОy\) прямую , проходящую через эти две точки.
Прямые и параллельны, значит, система не имеет решений, так как нет точек, удовлетворяющих одновременно и одному, и другому уравнению, т. е. принадлежащих одновременно и одной, и другой из построенных прямых.
Ответ: система не имеет решений.
2. Решить систему уравнений:
Графиком уравнения \(y=2x-5\) является прямая.
Найдём две пары значений переменных \(x\) и \(y\), удовлетворяющих этому уравнению.
| \(x\) | \(0\) | \(3\) |
| \(y\) | \(-5\) | \(1\) |
Построим на координатной плоскости \(xОy\) прямую , проходящую через эти две точки.
Графиком уравнения \(y=-2x+7\) также является прямая.
Найдём две пары значений переменных \(x\) и \(y\), удовлетворяющих этому уравнению.
| \(x\) | \(0\) | \(1\) |
| \(y\) | \(7\) | \(5\) |
Построим на координатной плоскости \(xОy\) прямую , проходящую через эти две точки.
Прямые и пересекаются в точке \(A\), координаты которой — единственное решение заданной системы.
Ответ: \((3;1)\).
Но этот метод не очень надёжный, так как координаты точки пересечения по чертежу не всегда легко определить.
Однако всё-таки графический метод решения системы линейных уравнений очень важен.
Применяя его, можно сделать следующие выводы:
1. прямые, являющиеся графиками уравнений, могут пересекаться в одной точке, координаты которой — единственное решение заданной системы.
2. Прямые могут быть параллельны, значит, система не имеет решений (система несовместна).
3. Прямые могут совпадать, значит, система имеет бесчисленное множество решений (система неопределённа).