3. Деление алгебраических дробей

Две алгебраические дроби делятся так же, как и числовые — делимое умножается на дробь, обратную делителю.

 

$\frac{25(a-b)}{16a^2}:\frac{5{(a-b)}^2}{8a^{2}b}=\frac{25(a-b)}{16a^2}\cdot \frac{8a^{2}b}{5{(a-b)}^2}=\frac{\stackrel{5}{\cancel{25}}\cancel{(a-b)}\cdot \cancel{8}\cancel{a^2}b}{\underset{2}{\cancel{16}}\cancel{a^2}\cdot \cancel{5}\underset{(a-b)}{\cancel{{(a-b)}^2}}}=\frac{5b}{\underset{¯}{\underset{¯}{2\left(a-b\right)}}}$.

 

Данное правило распространяется  и на случай, если один из компонентов деления является многочленом: достаточно записать этот многочлен в виде дроби со знаменателем \(1\).

 

1) $\frac{25a}{b^3}:\left(25\mathit{ab}\right)=\frac{25a}{b^3}:\frac{25\mathit{ab}}{1}=\frac{25a}{b^3}\cdot \frac{1}{25\mathit{ab}}=\frac{\cancel{25a}\cdot 1}{b^3\cdot \cancel{25a}b}=\frac{1}{\underset{¯}{\underset{¯}{b^4}}}$;

 

2) $(12x+10):\frac{6x+5}{x^3}=\frac{12x+10}{1}:\frac{6x+5}{x^3}=\frac{12x+10}{1}\cdot \frac{x^3}{6x+5}=\frac{\left(12x+10\right)\cdot x^3}{6x+5}=$

 

$=\frac{2\cancel{\left(6x+5\right)}\cdot x^3}{\cancel{6x+5}}=\underset{¯}{\underset{¯}{2x^3}}$;

 

3) $\frac{6a}{b^4}:\frac{18a^2}{b^3}:\frac{11a^3}{b^2}=\left(\frac{6a}{b^4}\cdot \frac{b^3}{18a^2}\right):\frac{11a^3}{b^2}=\left(\frac{\cancel{6a}}{\underset{b}{\cancel{b^4}}}\cdot \frac{\cancel{b^3}}{\underset{3a}{\cancel{18a^2}}}\right):\frac{11a^3}{b^2}=\frac{1}{3\mathit{ab}}:\frac{11a^3}{b^2}=$

 

$=\frac{1}{3\mathit{ab}}\cdot \frac{b^2}{11a^3}=\frac{1\cdot \stackrel{b}{\cancel{b^2}}}{3a\cancel{b}\cdot 11a^3}=\underset{¯}{\underset{¯}{\frac{b}{33a^4}}}$.