Умножение и возведение в степень алгебраических дробей

Чтобы перемножить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами, необходимо:

Пример:

\frac{a^{2} + a}{9} \cdot \frac{6}{a^{2} - 1} = \frac{a (a + 1) \cdot 6}{9 \cdot (a - 1) \cdot (a + 1)} = \frac{a (a + 1) \cdot \overset{2}{6}}{\underset{3}{9} \cdot (a - 1) \cdot (a + 1)} = \frac{2 a}{\underline{\underline{3 (a - 1)}}}

Нахождение значения степени

a^{n}

называется возведением в степень.

Степенью алгебраической дроби

\frac{A}{B}

с натуральным показателем \(n\) называется произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен

\frac{A}{B}

{(\frac{A}{B})}^{n} = \underset{n раз}{\underset{⏟}{\frac{A}{B} \cdot \frac{A}{B} \cdot ... \cdot \frac{A}{B}}}

Степень дроби тождественно равна дроби, у которой числитель есть степень числителя, а знаменатель — степень знаменателя.

Из закона умножения алгебраических дробей следует, что

{(\frac{A}{B})}^{n} = \frac{A^{n}}{B^{n}} (B \neq 0)

Пример:

{(\frac{2 a^{3}}{b})}^{2} = \frac{{(2 a^{3})}^{2}}{{(b)}^{2}} = \frac{2^{2} \cdot a^{3 \cdot 2}}{b^{2}} = \frac{4 \cdot a^{6}}{b^{2}} = \frac{4 a^{6}}{\underline{\underline{b^{2}}}}

;

{(- \frac{c^{3}}{x y^{3}})}^{4} = \frac{{(- c^{3})}^{4}}{{(x y^{3})}^{4}} = \frac{c^{3 \cdot 4}}{x^{4} \cdot y^{3 \cdot 4}} = \frac{c^{12}}{x^{4} \cdot y^{12}} = \frac{c^{12}}{\underline{\underline{x^{4} y^{12}}}}

;

{(\frac{x + y}{3 x^{3}})}^{2} = \frac{{(x + y)}^{2}}{{(3 x^{3})}^{2}} = \frac{x^{2} + 2 xy + y^{2}}{3^{2} \cdot x^{3 \cdot 2}} = \frac{x^{2} + 2 xy + y^{2}}{\underline{\underline{9 x^{6}}}}

Нашёл ошибку?

2. Умножение и возведение в степень алгебраических дробей