Теория:
Если дано какое-либо рациональное выражение \(A\), то, умножив его на \(-1\), получаем .
Два рациональных выражения \(A\) и \(-A\) называются взаимно противоположными рациональными выражениями, если их сумма равна \(0\), то есть \(A+(-A)=0\) .
Выражения \(5\) и \(-5\); \(a+b\) и \(-a-b\); и ; и , это взаимно противоположные выражения, так как:
;
;
;
.
Выражения и — взаимно противоположные многочлены.
Выполняя действия с дробными рациональными выражениями, часто необходимо числитель и знаменатель какой-либо дроби заменить противоположным выражением.
Но чтобы значение дроби не изменилось, нужно соблюдать закон перемены знаков:
значение дроби не изменится, если изменить знаки на противоположные
- у числителя и знаменателя дроби;
- у числителя и у всей дроби;
- у знаменателя и у всей дроби.
Если буквами \(A\) и \(B\) обозначим числитель и знаменатель рационального выражения, закон перемены знаков можно записать таким образом:
;
;
.
Данный закон действует только тогда, когда .
1) | - изменены знаки в числителе и знаменателе | |
2) | - изменён знак в числителе и перед дробью | |
3) | - изменён знак в знаменателе и перед дробью |
В правильности каждого равенства можно убедиться, выбрав любое значение переменной из области определения дроби.
Преобразование верно при всех значениях \(m\), кроме \(m=0\).
Проверим это, если \(m=1\) и если \(m=10\).
Если \(m=1\), то .
Если \(m=10\), то .