Теория:
Для того чтобы сократить алгебраическую дробь, нужно числитель и знаменатель разложить на множители. Если окажется, что числитель и знаменатель имеют общие множители, то их можно сократить.
Приёмы разложения многочленов на множители:
- вынесение общего множителя за скобку;
- использование тождеств сокращённого умножения;
- способ группировки.
Пример:
 | - дробь сокращена на двучлен \((m + 2)\) |
 | - числитель и знаменатель дроби разложены на множители, и дробь сокращена на общий множитель \((x - y)\) |
 | - числитель и знаменатель дроби разложены на множители, и дробь сокращена на \((a - b)\) |
 | - числитель дроби разложен на множители при помощи формулы квадрата суммы, в знаменателе общий множитель вынесен за скобку; затем дробь сокращена на общий множитель \((m + n)\) |
Тождества сокращённого умножения, которые можно использовать при сокращении дробей
Квадрат суммы .
Квадрат разности .
Сумма кубов .
Разность кубов .
Куб суммы .
Куб разности .
Пример:
сократи дробь .
Решение:
1. числитель и знаменатель дроби раскладываем на множители, используя формулы разности квадратов и квадрата разности:
 |
2. Сокращаем дробь на общий множитель — двучлен \((x-2)\):
. Преобразуй дробь таким образом, чтобы в знаменателе было .
Решение:
1. чтобы понять, как расширить дробь , выражение раскладываем на множители:
.
2. Сравниваем полученное выражение со знаменателем дроби \(x+2\) и делаем вывод, что дополнительным множителем этой дроби является \(3(x-2)\):
. Упрости выражение .
Решение:
1. в числителе за скобки выносим общий множитель \(2\), а в знаменателе — общий множитель \(6\):
.
2. Выражение раскладываем на множители, используя формулу суммы кубов, затем дробь сокращаем.
.