Теория:
Основное свойство числовой дроби:
если числитель и знаменатель дроби одновременно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю, то значение дроби не изменится.
Умножение числителя и знаменателя дроби на число называется расширением дроби, а деление — сокращением.
1. |  | Числитель и знаменатель дроби умножили на \(4\), т. е. дробь расширили на \(4\) (Знаменатель тоже умножить на \(4\)!) |
2. |  | Числитель и знаменатель дроби разделили на \(7\), т. е. дробь сократили на \(7\) |
С алгебраическими дробями можно выполнять те же действия, что и с числовыми дробями — сложение, вычитание, умножение, деление или возведение в степень.
При выполнении этих действий и упрощении результата приходится использовать
основное свойство алгебраической дроби:
значение алгебраической дроби не изменится, если её числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же выражение, значение которого отлично от нуля.
1. |  | Числитель и знаменатель умножен на одночлен \(2x\); дробь расширена на \(2x\) (Знаменатель тоже умножить на \(2x\)!) |
2. |  | Числитель и знаменатель разделены на двучлен \(y + 5\); дробь сокращена |
Обрати внимание!
При выполнении действий над алгебраическими дробями подразумевается, что все действия выполняются только в области определения этой дроби (т. е. соответствуют допустимым значениям переменной). Поэтому область определения дроби находится только тогда, когда этого требует условие задания.
Пример:
сократи .
1. У чисел \(26\) и \(169\) имеется общий множитель \(13\), поэтому дробь можно сократить:
.
2. Сокращаются степени с равными основаниями:
.
2.1 Степени и сокращаются делением на меньшую степень :
.
2.2 Сокращаются равные множители \(c\). Переменную \(b\) нельзя сократить, т. к. в знаменателе дроби нет такой переменной:
.
Ответ: сократив дробь , получаем .