Теория:

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
 — обозначение множества всех натуральных чисел.
Пример:

\(1, 2, 3, 4, 5...\)

 — множество целых чисел. Оно состоит из натуральных чисел, им противоположных и нуля.

Пример:
\(…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …\)

 — множество рациональных чисел.

Оно получается из множества целых чисел, если к ним добавить обыкновенные дроби: 13,5152,85....

Множество  рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).

Очевидно,  — составной компонент множества , а   — составной компонент множества . Обозначается это так: ;.

kopas.png

знак включения.

Запись xX показывает, что \(x\) — элемент множества \(X\).

Запись AB показывает, что множество \(A\) — часть множества \(B\). Говорят: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является  подмножеством множества \(B\), используют символы принадлежности, перечёркнутые чертой: xX,AB.

Данные математические символы используют для компактной записи верных математических утверждений, называемых истинными высказываниями.

Пример:

7;7;7;5;;;21;6;1;32;8.

Каждое рациональное число может быть записано десятичной дробью (конечной или бесконечной периодической):

722=0,3181818...=0,3(18);4=4,000...=4,(0);7,3777=7,37770000...=7,3777(0).

Обратное утверждение также верно: каждую бесконечную десятичную периодическую дробь можно записать обыкновенной дробью. Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.

Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5(28) в обыкновенную дробь.

Пусть \(x=\) 4,5(28), т. е. \(x=\) 4,5282828... и т.д.

Сначала нужно передвинуть запятую, чтобы она стояла перед периодом. Для этого число \(x\) умножим на \(10\). Получим 10x=45,282828... и т.д.

Теперь передвинем запятую так, чтобы она стояла после периода. Для этого число \(x\) умножим на \(1000\). Получим 1000x=4528,282828... и т.д.

Вычтем из второго равенства первое равенство.

1000x=4528,282828...10x=45,282828...

  990x=4483¯

Отсюда x=4483990=4523990.

Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.

Пример:

1,(23)=123199=12299=12399;1,5(23)=15235990=1518990=1259495.