Теория:

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой .
Пример:

\(1, 2, 3, 4, 5...\)

Если к натуральным числам присоединить число \(0\) и все целые отрицательные числа: \(-1, -2, -3, -4...\) — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой .

Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: 13,5152,85... и т. д. — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой .

Множество  рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).

Понятно, что  — часть множества , а   — часть множества . Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: ;.

kopas.png

Математический символ  называют знаком включения (одного множества в другое).

Запись xX означает, что \(x\) — один из элементов множества \(X\).

А запись AB означает, что множество \(A\) представляет собой часть множества \(B\). Математики чаще говорят так: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является частью (подмножеством) множества \(B\), используют те же символы, но перечёркнутые косой чертой: xX,AB.

Приведём несколько примеров использования введённых математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также  истинными высказываниями.

Пример:

7;7;7;5;;;21;6;1;32;8.

Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

722=0,3181818...=0,3(18);4=4,000...=4,(0);7,3777=7,37770000...=7,3777(0).

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Переведём бесконечную десятичную периодическую дробь 4,5(28) в обыкновенную дробь.

Положим \(x=\) 4,5(28), т. е. \(x=\) 4,5282828... и т.д.

Умножим \(x\) на такое число,чтобы запятая передвинулась вправо до периода. Между запятой в числе \(x\) и началом периода стоит одна цифра, значит, запятую нужно передвинуть на одну цифру, т.е. умножаем \(x\) на \(10\). Получим 10x=45,282828... и т.д.

Теперь умножим \(x\) на такое число,чтобы запятая стояла после периода. Поскольку в нашем случае после запятой и до периода стоит одна цифра, в периоде содержатся две цифры, нужно, чтобы запятая передвинулась вправо на три цифры. Для этого число \(x\) надо умножить на 1000. Получим 1000x=4528,282828... и т.д.

Вычтем из второго равенства первое равенство.

1000x=4528,282828...10x=45,282828...

  990x=4483¯

Отсюда x=4483990=4523990.

Приведём примеры перевода бесконечной десятичной периодической дроби в обыкновенную в сокращённой записи.

Пример:

1,(23)=123199=12299=12399;1,5(23)=15235990=1518990=1259495.