Теория:

Если \(x\) — неотрицательное число, то его модуль равен самому числу \(x\), то есть \(|x|=x\).
Если \(x\) — отрицательное число, то его модуль равен противоположному для \(x\) числу, то есть \(|x|=-x\).
Получаем: x=x,если x0x,если x<0.
 
Например, 4=4;4=(4)=4;4.7=(4.7)=4.7;72=72(так как72>0).
Свойства модулей
1. a0;
2. ab=ab;
3. ab=ab;
4. a2=a2;
5. a=a.
Геометрический смысл модуля
Геометрическая модель множества действительных чисел  — координатная прямая. Точки \(a\) и \(b\) на координатной прямой соответствуют действительным числам \(a\) и \(b\). Расстояние между точками \(a\) и \(b\) обозначим ρ \((a, b)\) (букву ρ греческого алфавита читаем «ро»). Это расстояние равно \(b - a\), если \(b > a\),
1.png
 
оно равно \(a - b\), если \(a > b\), и, наконец,
 
2.png
 
оно равно нулю, если \(a = b\).
Все три случая охватываются одной формулой: ρa,b=ab.
Пример:
решить уравнение x5=3.
Переведём аналитическую модель x5=3 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки \(x\), которые удовлетворяют условию ρ(x;5)=3, т. е. удалены от точки \(5\) на расстояние, равное \(3\). Это точки \(2\) и \(8\).
 
abs_.png
 
Следовательно, уравнение имеет два корня: \(2\) и \(8\).