Теория:

Натуральные числа — это числа, используемые для счёта предметов или для указания порядкового номера того или иного предмета среди однородных предметов.
Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой .
Пример:

\(1, 2, 3, 4, 5...\)

Если к натуральным числам присоединить число \(0\) и все целые отрицательные числа: \(-1, -2, -3, -4...\) — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой .

Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: 13,5152,85... и т. д. — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой .

Множество  рациональных чисел — это множество, состоящее из чисел вида mn;mn (где \(m\), \(n\) — натуральные числа) и числа \(0\).

Понятно, что  — часть множества , а   — часть множества . Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: ;.

kopas.png

Математический символ  называют знаком включения (одного множества в другое).

Запись xX означает, что \(x\) — один из элементов множества \(X\).

А запись AB означает, что множество \(A\) представляет собой часть множества \(B\). Математики чаще говорят так: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Для записи, что элемент \(x\) не принадлежит множеству \(X\) или что множество \(A\) не является частью (подмножеством) множества \(B\), используют те же символы, но перечёркнутые косой чертой: xX,AB.

Приведём несколько примеров использования введённых математических символов для сокращения записи верных математических утверждений — их называют также  истинными высказываниями.

Пример:

7;7;7;5;;;21;6;1;32;8.

Любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби:

722=0,3181818...=0,3(18);4=4,000...=4,(0);7,3777=7,37770000...=7,3777(0).

Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби. Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.

Покажем на примере, как бесконечную десятичную периодическую дробь превращают в обыкновенную дробь.

Пример:

1,(23)=12299=12399;1,5(23)=15235990=1518990=1259495.