Теория:

Понятия рациональное число, иррациональное число произошли от латинского слова ratio — разум
(буквальный перевод: «рациональное число — разумное число», «иррациональное число — неразумное число»; так выражаются и в реальной жизни: «его поступок рационален» — это значит, что он поступил разумно; «так поступать нерационально» — обозначает, что так поступать неразумно).

Иррациональным числом называют действительное число, которое не является рациональным (его нельзя записать обыкновенной дробью). Иррациональное число — только бесконечная непериодическая дробь.

Если натуральное число \(n\) не является точным квадратом, т. е. nk2, где k, то  n является иррациональным числом.

Пример:

5=2,23606798...11=3,31662479...

Число π \(3,141592...\) также является иррациональным. Это доказал в  \(1766\) году немецкий математик И. Ламберт. Интересно, что для этого числа была взята буква греческого алфавита «пи», так как с этой буквы начинается греческое слово периферия — окружность.

Итак,

1. в результате всякого арифметического действия над рациональными числами (помимо деления на \(0\)) получаем рациональное число.

2. Любое арифметическое действие над иррациональными числами может привести в итоге к рациональному или к иррациональному числу.

3. Если в арифметическом действии принимают участие рациональное и иррациональное числа, то в итоге будет иррациональное число (исключение — умножение и деление на \(0\)).

4. Т. к. в результате действий по извлечению корней (квадратного и кубического) из неотрицательного числа получается иррациональное число, определились, что иррациональным выражением считают любое алгебраическое выражение,  где есть действие по извлечению квадратного и кубического корня из переменной.