Теория:

В математике используют приближённые значения действительных чисел  для графического решения уравнений и для выполнения  практических вычислений с действительными числами.

Действительные числа — бесконечные десятичные дроби. 

Пример:
найди площадь круга с радиусом \(2\) см.

Решение:

найдём площадь круга по формуле S=πR2=43,14159265359...=12,5663706144....

В ответ мы можем написать приближённое значение:

1) S \(12,56\) — приближённое значение этого числа  с недостатком с точностью до сотых,

или

2)  S\(12,57\) — приближённое значение этого числа  с избытком с точностью до сотых.

Таким образом, используют округление с недостатком и округление с избытком.

Абсолютная погрешность приближения показывает точность приближённого значения и находится по формуле \(h=\) xa, где \(x\) — точное значение величины, \(a\) —  её приближённое значение.

Погрешность приближённого равенства  S\(12,56\) или  S\(12,57\) выражается как S12,56 или соответственно как S12,57.
Правило округления.
Если первая отбрасываемая цифра меньше \(5\), то нужно брать приближение с недостатком; если первая отбрасываемая цифра больше или равна \(5\), то нужно брать приближение с избытком.
\(S=12,5663706144...\) С точностью до \(0,01\) имеем  S\(12,57\); выбрали приближение с избытком, т. к. на третьем месте после запятой стоит цифра \(6\) — её и отбросим.
Пример:

при точности до \(0,0001\) получим  S\(12,5664\) — тоже выбрали приближение с избытком, т. к. на пятом месте после запятой стоит цифра \(7\) (мы её отбрасываем).

При точности до \(0,001\) нужно выбрать приближение с недостатком:  S\(12,566\).

Если \(a\) — приближённое значение числа \(x\) и xah, то говорят, что абсолютная погрешность приближения не превосходит \(h\) или что число \(x\) равно числу \(a\) с точностью до \(h\).