1. Рациональные числа

 

Используя введённые обозначения $\mathrm{\mathbb{N}}$, $\mathrm{\mathbb{Z}}$, $\mathrm{\mathbb{Q}}$, условимся о следующем:

1. вместо фразы «\(n\) — натуральное число» можно писать $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ (читается: «элемент \(n\) принадлежит множеству $\mathrm{\mathbb{N}}$»).

2. Вместо фразы «\(m\) — целое число» можно писать $m\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

3. Вместо фразы «\(r\) — рациональное число» можно писать $r\in \mathrm{\mathbb{Q}}$.

 

Понятно, что $\mathrm{\mathbb{N}}$ — часть множества $\mathrm{\mathbb{Z}}$, а $\mathrm{\mathbb{Z}}$ — часть множества $\mathrm{\mathbb{Q}}$. Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: $\mathrm{\mathbb{N}}\subset \mathrm{\mathbb{Z}},\mathrm{\mathbb{Z}}\subset \mathrm{\mathbb{Q}}$.

Вообще, в математике запись $x\in X$ означает, что \(x\) — один из элементов множества \(X\). Запись $A\subset B$ означает, что множество \(A\) представляет собой часть множества \(B\). Математики чаще говорят так: \(A\) — подмножество множества \(B\).

Рассмотрим, например, целое число \(5\), обыкновенную дробь $\frac{7}{22}$ и десятичную дробь \(8,377\).

 

Целое число \(5\) можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: \(5,0000...\) Десятичную дробь \(8,377\) также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: \(8,377000...\) Для числа $\frac{7}{22}$ воспользуемся методом «деления углом»:

 

Как видишь, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: \(18\), \(18\), \(18...\) Таким образом, $\frac{7}{22}$ \(= 0,3181818...\) Короче это записывают так: \(0,3(18)\).

Между прочим, и число \(5\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби. Для этого надо в периоде записать число \(0\):

\(5 = 5,00000... = 5,(0)\).

 

Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь \(8,377\), то зачем нужна её запись в виде 8,377(0)?

 

Поэтому обычно говорят так: любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.

 

Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.