Теория:
Некоторые символы математического языка
Тебе хорошо известны натуральные числа: \(1\), \(2\), \(3\), \(4...\)
Множество всех натуральных чисел обычно обозначают буквой .
Если к натуральным числам присоединить число \(0\) и все целые отрицательные числа: \(-1\), \(-2\), \(-3\), \(-4...\) — то получится множество целых чисел. Это множество обычно обозначают буквой .
Если к множеству целых чисел присоединить все обыкновенные дроби: и т. д. — то получится множество рациональных чисел. Это множество обычно обозначают буквой .
Используя введённые обозначения , , , условимся о следующем:
1. вместо фразы «\(n\) — натуральное число» можно писать (читается: «элемент \(n\) принадлежит множеству »).
2. Вместо фразы «\(m\) — целое число» можно писать .
3. Вместо фразы «\(r\) — рациональное число» можно писать .
Понятно, что — часть множества , а — часть множества . Для описания этой ситуации в математике также имеется специальное обозначение: .
Обрати внимание!
Математический символ называют знаком принадлежности (элемент принадлежит множеству).
Математический символ называют знаком включения (одно множество cодержится в другом).
Обрати внимание!
Множества в математике обычно обозначают прописными буквами, а элементы множества — строчными буквами.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби
Рассмотрим, например, целое число \(5\), обыкновенную дробь и десятичную дробь \(8,377\).
Целое число \(5\) можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: \(5,0000...\) Десятичную дробь \(8,377\) также можно записать в виде бесконечной десятичной дроби: \(8,377000...\) Для числа воспользуемся методом «деления углом»:

Как видишь, начиная со второй цифры после запятой происходит повторение одной и той же группы цифр: \(18\), \(18\), \(18...\) Таким образом, \(= 0,3181818...\) Короче это записывают так: \(0,3(18)\).
Повторяющуюся группу цифр после запятой называют периодом, а саму десятичную дробь — бесконечной десятичной периодической дробью.
\(5 = 5,00000... = 5,(0)\).
Обрати внимание!
Вообще, любое рациональное число можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Этот вывод удобен для теории, но не очень удобен для практики. Ведь если дана конечная десятичная дробь \(8,377\), то зачем нужна её запись в виде 8,377(0)?
Поэтому обычно говорят так: любое рациональное число можно записать в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Выше мы показали, как обыкновенную дробь представляют в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Верно и обратное: любую бесконечную десятичную периодическую дробь можно представить в виде обыкновенной дроби.
Это значит, что любая бесконечная десятичная периодическая дробь есть рациональное число.