Теория:

Символы математического языка
Натуральные числа используются при счёте: \(1\), \(2\), \(3\), \(4...\)
Множество всех натуральных чисел обозначается буквой .
 
Множество всех целых чисел обозначается буквой . Оно содержит число \(0\), все натуральные числа: \(1\), \(2\), \(3\), \(4...\) и все целые отрицательные числа: \(-1\), \(-2\), \(-3\), \(-4...\).
 
Множество рациональных чисел обычно обозначается буквой . Оно содержит все целые числа и все обыкновенные дроби: 23;12;83 и т. д.
Обобщённо говорят, что множество   состоит из чисел вида mn;mn, где \(m, n\) — натуральные числа и число \(0\) (целое число можно тоже представить в виде m1).
Символы , ,  удобно использовать для указания типа числа.
1. Запись n (говорят: «элемент \(n\) принадлежит множеству ») обозначает, что число \(n\) — натуральное.
2. Запись m обозначает, что число \(m\) — целое.
3. Запись r обозначает, что число \(r\) — рациональное.
4. Записи , обозначают, что   — часть множества , а  — часть множества .
 
Обрати внимание!
Символ принадлежности  используется, когда элемент принадлежит множеству.
Символ включения  используется, когда одно множество содержится в другом.
В математике введены следующие обозначения. Запись sS обозначает, что \(s\) — один из элементов множества \(S\). Запись AB обозначает, что множество \(B\) представляет собой часть множества \(A\). Говорят: \(B\) — подмножество множества \(A\).
Обрати внимание!
Для обозначения множеств в математике используют прописные буквы, а для элементов множеств — строчные буквы.
Для обозначения высказываний «элемент \(s\) не принадлежит множеству \(S\)» или «множество \(B\) не является частью (подмножеством) множества \(A\)» употребляют такие же символы, но перечёркнутые косой чертой: sS;BA.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби
Всякое рациональное число представимо в виде конечной десятичной дроби или в виде бесконечной десятичной периодической дроби.
Продемонстрируем это на примере: возьмём целое число \(4\), обыкновенную дробь 711 и десятичную дробь \(5,377\).
 
Целое число \(4\) представимо в виде бесконечной десятичной дроби: \(4,0000...\) Десятичную дробь \(5,377\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби: \(5,377000...\) Обыкновенную дробь 711 преобразуем в десятичную путём «деления уголком»:
 766¯11¯0,636363...4033¯7066¯4033¯7066¯4033¯...
Легко заметить, что в дробной части частного появилась одинаковая комбинация цифр: \(63\), \(63\), \(63...\) Дробь 711 \(= 0,6363636363...\) является бесконечной. Обычно пишут: \(0,(63)\).
Бесконечная десятичная периодическая дробь — десятичная дробь, у которой после запятой повторяется одна и та же последовательность цифр.  Эта последовательность называется периодом.
Целое число можно записать как бесконечную десятичную дробь с периодом \(0\). Например:
\(4 = 4,00000... = 4,(0)\).
 
Обрати внимание!
Вообще, любое рациональное число можно представить бесконечной десятичной периодической дробью.
Практически удобнее пользоваться конечной десятичной дробью \(4,377\), чем бесконечной дробью в виде \(4,377(0)\). Но теоретически  любую обыкновенную дробь можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот: любая бесконечная десятичная периодическая дробь представима в виде обыкновенной дроби.
Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.