Теория:
Символы математического языка
Натуральные числа используются при счёте: \(1\), \(2\), \(3\), \(4...\)
Множество всех натуральных чисел обозначается буквой .
Множество всех целых чисел обозначается буквой . Оно содержит число \(0\), все натуральные числа: \(1\), \(2\), \(3\), \(4...\) и все целые отрицательные числа: \(-1\), \(-2\), \(-3\), \(-4...\).
Множество рациональных чисел обычно обозначается буквой . Оно содержит все целые числа и все обыкновенные дроби: и т. д.
Обобщённо говорят, что множество состоит из чисел вида , где \(m, n\) — натуральные числа и число \(0\) (целое число можно тоже представить в виде ).
Символы , , удобно использовать для указания типа числа.
1. Запись (говорят: «элемент \(n\) принадлежит множеству ») обозначает, что число \(n\) — натуральное.
2. Запись обозначает, что число \(m\) — целое.
3. Запись обозначает, что число \(r\) — рациональное.
4. Записи обозначают, что — часть множества , а — часть множества .
Обрати внимание!
Символ принадлежности используется, когда элемент принадлежит множеству.
Символ включения используется, когда одно множество содержится в другом.
В математике введены следующие обозначения. Запись обозначает, что \(s\) — один из элементов множества \(S\). Запись обозначает, что множество \(B\) представляет собой часть множества \(A\). Говорят: \(B\) — подмножество множества \(A\).
Обрати внимание!
Для обозначения множеств в математике используют прописные буквы, а для элементов множеств — строчные буквы.
Рациональные числа как бесконечные десятичные периодические дроби
Продемонстрируем это на примере: возьмём целое число \(4\), обыкновенную дробь и десятичную дробь \(5,377\).
Целое число \(4\) представимо в виде бесконечной десятичной дроби: \(4,0000...\) Десятичную дробь \(5,377\) можно представить в виде бесконечной десятичной дроби: \(5,377000...\) Обыкновенную дробь преобразуем в десятичную путём «деления уголком»:
Легко заметить, что в дробной части частного появилась одинаковая комбинация цифр: \(63\), \(63\), \(63...\) Дробь \(= 0,6363636363...\) является бесконечной. Обычно пишут: \(0,(63)\).
Бесконечная десятичная периодическая дробь — десятичная дробь, у которой после запятой повторяется одна и та же последовательность цифр. Эта последовательность называется периодом.
\(4 = 4,00000... = 4,(0)\).
Обрати внимание!
Вообще, любое рациональное число можно представить бесконечной десятичной периодической дробью.
Практически удобнее пользоваться конечной десятичной дробью \(4,377\), чем бесконечной дробью в виде \(4,377(0)\). Но теоретически любую обыкновенную дробь можно записать в виде бесконечной периодической десятичной дроби. И наоборот: любая бесконечная десятичная периодическая дробь представима в виде обыкновенной дроби.
Следовательно, любая бесконечная десятичная периодическая дробь является рациональным числом.