Теория:

С квадратными уравнениями мы уже встречались в курсе алгебры \(7\)-го класса.
Квадратным уравнением называют уравнение вида ax2+bx+c=0, где \(а, b, с\) — любые числа (коэффициенты), причём a0.
Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причём различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.
 
Реши уравнение x22x3=0.
 
Первый способ
Построим график функции x22x3=0.
1. Имеем: \(a = 1\), \(b = -2\), x0=b2a=1,y0=f(1)=1223=4. Значит, вершиной параболы служит точка \((1; -4)\), а осью параболы — прямая \(x = 1\).
 
2. Возьмём на оси \(x\) две точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки \(x = -1\) и \(x = 3\). Имеем \(f(-1) = f(3) = 0\). Построим на координатной плоскости точки \((-1; 0)\) и \((3; 0)\).
 
3. Через точки \((-1; 0)\), \((1; -4)\), \((3; 0)\) проводим параболу.
 
1.png
 
Корнями уравнения x22x3=0 являются абсциссы точек пересечения параболы с осью \(х\); значит, корни уравнения таковы: x1=1;x2=3.
 
Второй  способ
Преобразуем уравнение к виду x2=2x+3. Построим в одной системе координат графики функций: y=x2;y=2x+3.
 
2.png
 
Они пересекаются в двух точках: \(C(- 1; 1)\) и \(D(3; 9)\). Корнями уравнения служат абсциссы точек \(C\) и \(D\), значит, x1=1;x2=3.
 
Третий способ
Преобразуем уравнение к виду x23=2x. Построим в одной системе координат графики функций: y=x23;y=2x.
 
3.png
 
Они пересекаются в двух точках: \(C(-1; - 2)\) и \(D(3; 6)\). Корнями уравнения являются абсциссы точек \(C\) и \(D\), поэтому x1=1;x2=3.
 
Четвёртый способ
Преобразуем уравнение к виду x22x+14=0 и далее x22x+1=4x12=4.
Построим в одной системе координат параболу y=x12 и прямую \(y = 4\).
 
4.png
 
Они пересекаются в двух точках: \(C(-1; 4)\) и \(D(3; 4)\). Корнями уравнения служат абсциссы точек \(C\) и \(D\), поэтому x1=1;x2=3.
 
Пятый способ
Разделив почленно обе части уравнения на \(x\), получим:
x23x=0;x2=3x.
Построим в одной системе координат гиперболу y=3x и прямую \(y = x - 2\).
 
5.png
 
Они пересекаются в двух точках: \(A (-1; -3)\) и \(B(3; 1)\). Корнями уравнения являются абсциссы точек \(A\) и \(B\), следовательно, x1=1;x2=3.
 
Итак, квадратное уравнение x22x3=0 мы решили графически пятью способами.