Теория:

Рассмотрим два случая: \(a > 0\) и  \(a < 0\).
 
1 cлучай (\(a > 0\)).
 
Графиком функции y=ax2 при \(a > 0\) является парабола с направленными вверх ветвями.
 
geom_mod.png
 
1.Областью определения функции является промежуток ;+, так как для любого значения аргумента \(x\) существует значение функции.
 
2. \(y = 0\), если \(x = 0\); \(у > 0\), если x0. Это легко доказать: \(a>0\) и x2>0, поэтому ax2>0 при x0. График функции расположен над осью \(x\), только одна точка лежит на оси.
 
3. Функция y=ax2 является непрерывной.
 
4.  yнаим=0 (если \(х = 0\)).
 
5.  Возрастает для значений x0, убывает для значений x0.
 
Дадим понятие ограниченности функции.
Функция \(у = f(x)\) ограничена снизу, если все её значения больше определённого числа. Существует прямая, параллельная оси \(x\), такая, что график функции \(у = f(x)\) расположен над этой прямой.
Например: график функции y=ax2 расположен над прямой \(у = -1\).
 
geom_mod1.png
 
Значит, функция y=ax2 \((a > 0)\) ограничена снизу.   
 
Функция может быть ограничена сверху.
Если все значения функции \(у = f(x)\) меньше некоторого числа, то функция  называется ограниченной сверху. График функции расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси \(x\).
Существует ли такая прямая для параболы y=ax2, где \(a > 0\)? Нет. Следовательно, функция не является ограниченной сверху.
 
6. Функция y=ax2 \((a > 0)\) ограничена снизу и не ограничена сверху.
 
7. Область значений функции y=ax2 \((k>0)\): 0;+.
 
8. Функция выпукла вниз.
 
2 cлучай (\(a< 0\)).
 
Графиком функции y=ax2 при \(a < 0\) является парабола с направленными вниз ветвями.
 
geom_mod3.png
 
1. Область определения функции ;+.
2. \(у = 0\) при \(х = 0\); \(у < 0\) при x0.
З. y=ax2 — непрерывная функция.
4. yнаиб=0 (достигается при \(х = 0)\), yнаим не существует.
5. Функция возрастает при x0, убывает при x0.
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
7. Область значений функции y=ax2 \((k<0)\): ;0.
 
Последовательность действий при перечислении свойств функции, описанная выше, является рекомендованной, но может быть изменена.