Теория:
Функция и её график
В \(7\)-м классе мы изучали функции \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), . В общем виде функция \(у = f(x)\) является математической моделью зависимости значений функции (зависимой переменной \(y\)) от заданных значений аргумента (независимой переменной \(x\)).
Действительно, функция в одном случае нам немного знакома. Смотри: при \(a = 1\), получаем ; эту функцию мы изучили в \(7\)-м классе, и ты, скорее всего, помнишь, что график этой функции — парабола.
Посмотрим, что получится при иных значениях коэффициента \(a\).
Проведём анализ двух функций: и . Составим таблицу значений для первой функции :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(1.5\) | \(-1.5\) |
| \(y\) | \(0\) | \(4\) | \(4\) | \(16\) | \(16\) | \(9\) | \(9\) |
Нанесём точки \((0; 0), (1; 4), (-1; 4), (2; 16), (-2; 16), (1,5; 9), (-1,5; 9)\) и соединим их плавной линией.
Заполним таблицу значений для функции :
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(4\) | \(-4\) |
| \(y\) | \(0\) | \(0.25\) | \(0.25\) | \(1\) | \(1\) | \(4\) | \(4\) |
Нанесём точки \((0; 0), (1; 0,25), (-1; 0,25), (2; 1), (-2; 1), (4; 4), (-4; 4)\) и соединим их плавной линией.
Сравни полученные рисунки. Заметно, что оба графика похожи. График такого вида называют параболой.
У каждой параболы есть вершина и ось симметрии (говорят ось параболы). У данных парабол это точка \((0; 0))\) и ось \(y\).
Обрати внимание!
Коэффициент \(a\) определяет, как быстро изменяется значение функции при изменении аргумента. Чем больше коэффициент \(a\), тем более круто направлены вверх ветви параболы.
Возьмём отрицательный коэффициент \(a=-1\) и построим график функции . Заполним таблицу:
| \(x\) | \(0\) | \(1\) | \(-1\) | \(2\) | \(-2\) | \(3\) | \(-3\) |
| \(y\) | \(0\) | \(-1\) | \(-1\) | \(-4\) | \(-4\) | \(-9\) | \(-9\) |
Отметим точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9)\) и соединим плавной линией.
Эта парабола имеет вершину в точке \((0; 0)\), ось симметрии — ось \(y\). Коэффициент \(a<0\), поэтому ветви идут вниз.
График функции — парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), с симметричными относительно оси ординат ветвями, идущими вверх (если \(a>0\)) или вниз (если \(a<0\)).
Графики функций, имеющие противоположные значения коэффициента \(a\), симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Например, графики функций и .
Точно так же симметричны друг другу относительно оси \(x\) параболы и .
Обрати внимание!
График функции \(у = - f(x)\) симметричен графику функции \(у = f(x)\) относительно оси абсцисс.