2. Способы графического решения квадратного уравнения

Второй способ

Перенести два слагаемых в правую часть уравнения $a{x}^2=-\mathit{bx}-c$, построить параболу $y=a{x}^2$ и прямую \(y = -bx - c\), найти точки пересечения этих графиков. Если точки пересечения есть, то корнями уравнения будут значения абсцисс этих точек.

 

Третий способ

Переносят слагаемое с \(x\) в правую часть равенства $a{x}^2+c=-\mathit{bx}$, строят параболу $y=a{x}^2+c$ и прямую \(y = -bx\), проходящую через точку (\(0\); \(0\)); затем находят точки пересечения параболы и прямой.

 

 

Четвёртый способ

Выделяют полный квадрат $a{\left(x+l\right)}^2+m=0$, оставляют его в левой части уравнения $a{\left(x+l\right)}^2=-m$.

Строят параболу $y=a{\left(x+l\right)}^2$ и прямую \(y = - m\), параллельную оси \(x\); находят точки пересечения графиков.

 

Пятый способ

Преобразуют уравнение к виду $\frac{a{x}^2}{x}+\frac{\mathit{bx}}{x}+\frac{c}{x}=0$, т. е. $\mathit{ax}+b+\frac{c}{x}=0$, далее $\frac{c}{x}=-\mathit{ax}-b$.

Строят гиперболу $y=\frac{c}{x}$ (это гипербола при условии, что $c\ne 0$) и прямую \(y = - ax - b\); определяют их точки пересечения.

 

Первые четыре способа можно использовать при решении любых уравнений вида $a{x}^2+\mathit{bx}+c=0$, а пятый — только к тем, у которых $c\ne 0$. Ты можешь применять любой из этих способов на свой выбор (тот способ, который тебе больше всего  нравится или понятен).

 

Графических способов решения квадратных уравнений много, однако не каждое уравнение получится решить таким образом. К примеру, необходимо найти корни уравнения $x^2-x-3=0$ (намеренно выбрали уравнение, похожее на то, что было разобрано в примере ранее). Попытаемся его решить, допустим, вторым способом: приведём уравнение к виду $x^2=x+3$, построим два графика: параболу $y=x^2$ и прямую \(y = x + 3\).

 

 

Графики пересеклись в точках \(D\) и \(E\), следовательно, решений два. Однако точное числовое значение этих корней нам с помощью чертежа определить невозможно. В этом есть существенный недостаток графического способа.

 

Ещё один пример. Попытаемся решить уравнение $x^2-15x-89=0$ третьим способом. Приведём уравнение к виду $x^2-89=15x$. Нужно построить параболу $y=x^2-89$ и прямую \(y = 15x\). Однако в тетради очень сложно это сделать из-за масштаба, т. к. параболу $y=x^2$ необходимо сместить на \(89\) клеток вниз.

 

Итак, графическими способами решать квадратные уравнения удобно и приятно, однако невозможно предугадать получится ли решить графически конкретное квадратное уравнение или нет. Учтём это в дальнейшем.