Теория:

Свойства функции y=kx2 при \(k > 0\)
Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — параболу.
 
geom_mod.png
 
1. Так как для любого значения \(x\) по формуле y=kx2 можно вычислить соответствующее значение \(y\), то функция определена в любой точке \(x\) (при любом значении аргумента \(x\)).
 
Короче это записывают так: область определения функции есть ;+, т. е. вся координатная прямая.
 
2. \(y = 0\) при \(x = 0\); \(у > 0\) при x0. Это видно и по графику функции (он весь расположен выше оси \(x\)), но можно обосновать и без помощи графика: если x0, то kx2>0 как произведение двух положительных чисел \(k\) и x2.
 
3. функция y=kx2 непрерывна.
 
4.  yнаим=0 (если \(х = 0\)).
 
5. Функция y=kx2 возрастает при x0 и убывает при x0.
 
Перечисление свойств функции называется чтением графика. Добавим ещё одно новое свойство.
Если все значения функции \(у = f(x)\) больше некоторого числа, то функция  называется ограниченной снизу. График функции расположен выше некоторой прямой, параллельной оси \(x\).
А теперь посмотри: график функции y=kx2 расположен выше прямой \(у = -1\) (или \(у = - 2\), это неважно) — она проведена на рисунке.
 
geom_mod1.png
 
Значит, функция y=kx2 \((k > 0)\) ограничена снизу.   
 
Функция может быть ограничена сверху.
Если все значения функции \(у = f(x)\) меньше некоторого числа, то функция  называется ограниченной сверху. График функции расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси \(x\).
Существует ли такая прямая для параболы y=kx2, где \(k > 0\)? Нет. Следовательно, функция не является ограниченной сверху.
 
6. Функция y=kx2 \((k > 0)\) ограничена снизу и не ограничена сверху.
 
7. Область значений функции y=kx2 \((k>0)\) — луч 0;+.
 
8. Функция выпукла вниз.
Свойства функции y=kx2 при \(k < 0\)
При описании свойств этой функции мы опираемся на её геометрическую модель — параболу.
 
geom_mod3.png
 
1. Область определения функции ;+.
2. \(у = 0\) при \(х = 0\); \(у < 0\) при x0.
З. y=kx2 — непрерывная функция.
4. yнаиб=0 (достигается при \(х = 0)\), yнаим не существует.
5. Функция возрастает при x0, убывает при x0.
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
7. Область значений функции y=kx2 \((k<0)\) — луч ;0.
 
Последовательность действий при перечислении свойств функции, описанная выше, является рекомендованной, но может быть изменена.