Теория:
Рассмотрим два случая: \(k > 0\) и \(k < 0\).
1 cлучай (\(k > 0\)).
Графиком функции при \(k > 0\) является парабола с направленными вверх ветвями.
1.Областью определения функции является промежуток , так как для любого значения аргумента \(x\) существует значение функции.
2. \(y = 0\), если \(x = 0\); \(у > 0\), если . Это легко доказать: \(k>0\) и , поэтому при . График функции расположен над осью \(x\), только одна точка лежит на оси.
3. Функция является непрерывной.
4. (если \(х = 0\)).
5. Возрастает для значений , убывает для значений .
Дадим понятие ограниченности функции.
Функция \(у = f(x)\) ограничена снизу, если все её значения больше определённого числа. Существует прямая, параллельная оси \(x\), такая, что график функции \(у = f(x)\) расположен над этой прямой.
Значит, функция \((k > 0)\) ограничена снизу.
Функция может быть ограничена сверху.
Если все значения функции \(у = f(x)\) меньше некоторого числа, то функция называется ограниченной сверху. График функции расположен ниже некоторой прямой, параллельной оси \(x\).
6. Функция \((k > 0)\) ограничена снизу и не ограничена сверху.
7. Область значений функции \((k>0)\): .
8. Функция выпукла вниз.
2 cлучай (\(k< 0\)).
Графиком функции при \(k < 0\) является парабола с направленными вниз ветвями.
1. Область определения функции .
2. \(у = 0\) при \(х = 0\); \(у < 0\) при .
З. — непрерывная функция.
4. (достигается при \(х = 0)\), не существует.
5. Функция возрастает при , убывает при .
6. Функция ограничена сверху и не ограничена снизу.
7. Область значений функции \((k<0)\): .
Последовательность действий при перечислении свойств функции, описанная выше, является рекомендованной, но может быть изменена.