2. Свойства функций

Описывая свойства этой функции, мы будем опираться на её геометрическую модель — параболу.

 

 

1. Так как для любого значения \(x\) по формуле $y=k{x}^2$ можно вычислить соответствующее значение \(y\), то функция определена в любой точке \(x\) (при любом значении аргумента \(x\)).

 

Короче это записывают так: область определения функции есть $\left(-\mathrm{\infty };+\mathrm{\infty }\right)$, т. е. вся координатная прямая.

 

2. \(y = 0\) при \(x = 0\); \(у > 0\) при $x\ne 0$. Это видно и по графику функции (он весь расположен выше оси \(x\)), но можно обосновать и без помощи графика: если $x\ne 0$, то $k{x}^2>0$ как произведение двух положительных чисел \(k\) и $x^2$.

 

3. $y=k{x}^2$ — непрерывная функция.

 

4.  $y_{\text{наим}}=0$ (достигается при \(х = 0\)); $y_{\text{наиб}}$ не существует.

 

5. Функция $y=k{x}^2$ возрастает при $x\ge 0$ и убывает при $x\le 0$.

 

В \(7\) классе процесс перечисления свойств функции мы называли чтением графика. Процесс чтения графика будет у нас постепенно становиться всё насыщеннее и интереснее — по мере изучения новых свойств функций. Те пять свойств, которые перечислены выше, мы обсуждали в \(7\)-м классе для изученных там функций. Добавим одно новое свойство.

А теперь посмотри: график функции $y=k{x}^2$ расположен выше прямой \(у = -1\) (или \(у = - 2\), это неважно) — она проведена на рисунке.

 

 

Значит, $y=k{x}^2$ \((k > 0)\) — ограниченная снизу функция.   

 

Наряду с функциями, ограниченными снизу, рассматривают и функции, ограниченные сверху.

Имеется ли такая прямая для параболы $y=k{x}^2$, где \(k > 0\)? Нет. Это значит, что функция не является ограниченной сверху.

 

Итак, мы получили ещё одно свойство, добавим его к тем пяти, что указаны выше.

 

6. Функция $y=k{x}^2$ \((k > 0)\) ограничена снизу и не ограничена сверху.

 

7. Область значений функции $y=k{x}^2$ \((k>0)\) — луч $\left[0;\left.+\mathrm{\infty }\right)\right.$.

 

8. Функция выпукла вниз.