Теория:

Функция y=kx2 и её график
В \(7\)-м классе мы изучали функции \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), y=x2.  В общем виде функция \(у = f(x)\) является математической моделью зависимости значений функции (зависимой переменной \(y\)) от заданных значений аргумента (независимой переменной \(x\)).
 
На самом деле функция y=kx2 в одном случае нам немного знакома. Смотри: если \(k = 1\), то получаем y=x2; эту функцию мы изучили в \(7\)-м классе, и ты, скорее всего, помнишь, что график этой функции — парабола.
 
parabola.png
 
Посмотрим, что получится при иных значениях коэффициента \(k\).
Проведём анализ двух функций: y=2x2 и y=0.5x2. Составим таблицу значений для первой функции y=2x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(1.5\)\(-1.5\)
\(y\)\(0\)\(2\)\(2\)\(8\)\(8\)\(4.5\)\(4.5\)
 
Нанесём точки \((0; 0), (1; 2), (-1; 2), (2; 8), (-2; 8), (1,5; 4,5), (-1,5; 4,5)\) и соединим их плавной линией.
 
1.png
 
Заполним таблицу значений для функции y=0.5x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(0.5\)\(0.5\)\(2\)\(2\)\(4.5\)\(4.5\)
 
Нанесём точки \((0; 0), (1; 0,5), (-1; 0,5), (2; 2), (-2; 2), (3; 4,5), (-3; 4,5)\) и соединим их плавной линией.
 
2.png
 
Сравни полученные рисунки. Не правда ли, оба графика похожи? График такого вида называют параболой.
У каждой параболы есть вершина и ось симметрии (говорят ось параболы). У данных парабол это точка \((0; 0))\) и ось \(y\).
Обрати внимание!
Коэффициент \(k\) определяет, как быстро изменяется значение функции при изменении аргумента. Чем больше коэффициент \(k\), тем более круто направлены вверх ветви параболы.
Так же зависит от коэффициента \(k\) прямая \(у = kx\), проходящая через начало координат. Чем больше коэффициент \(k\), тем более круто расположена прямая. Это хорошо видно на рисунке, где в одной системе координат изображены графики линейных функций \(у = kx\) при трёх значениях коэффициента \(k> 0\).
 
3.png
 
Вернёмся к функции y=kx2. Выясним, как обстоит дело в случае отрицательного коэффициента \(k\). Построим, например, график функции y=x2 (здесь \(k = - 1\)). Составим таблицу значений:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(-1\)\(-1\)\(-4\)\(-4\)\(-9\)\(-9\)
 
Отметим точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9)\) на координатной плоскости; они намечают некоторую линию. Проведём её.
 
minpar.png
 
Это парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), ось \(y\) — ось симметрии, но в отличие от случая, когда \(k > 0\), на этот раз ветви параболы направлены вниз. Аналогично обстоит дело и для других отрицательных значений коэффициента \(k\).
 
Обрати внимание!
Итак, графиком функции y=kx2 (k0) является парабола (коротко парабола y=kx2) с вершиной в начале координат; ось \(y\) является осью параболы; ветви параболы направлены вверх при \(k>0\) и вниз — при \(k<0\).
Отметим ещё, что парабола y=kx2 касается оси \(x\) в точке \((0; 0)\), т. е. одна ветвь параболы плавно переходит в другую, как бы прижимаясь к оси \(x\).
 
Если построить в одной системе координат графики функций y=x2 и y=x2, то можно увидеть, что данные графики являются симметричными относительно оси \(x\), это хорошо видно на рисунке.
 
5.png
 
Точно так же симметричны друг другу относительно оси \(x\) параболы y=2x2 и  y=2x2.
 
6.png
 
Обрати внимание!
Вообще график функции \(у = - f(x)\) симметричен графику функции \(у = f(x)\) относительно оси абсцисс.