Теория:

Функция y=kx2 и её график
В \(7\)-м классе мы изучали функции \(у = m\), \(у = kx\), \(у = kx + m\), y=x2.  В общем виде функция \(у = f(x)\) является математической моделью зависимости значений функции (зависимой переменной \(y\)) от заданных значений аргумента (независимой переменной \(x\)).
 
Действительно, функция y=kx2 в одном случае нам немного знакома. Смотри: при \(k = 1\), получаем y=x2; эту функцию мы изучили в \(7\)-м классе, и ты, скорее всего, помнишь, что график этой функции — парабола.
 
parabola.png
 
Посмотрим, что получится при иных значениях коэффициента \(k\).
Проведём анализ двух функций: y=4x2 и y=0,25x2. Составим таблицу значений для первой функции y=4x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(1.5\)\(-1.5\)
\(y\)\(0\)\(4\)\(4\)\(16\)\(16\)\(9\)\(9\)
 
Нанесём точки \((0; 0), (1; 4), (-1; 4), (2; 16), (-2; 16), (1,5; 9), (-1,5; 9)\) и соединим их плавной линией.
 
4x^2.png
 
Заполним таблицу значений для функции y=0,25x2:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(4\)\(-4\)
\(y\)\(0\)\(0.25\)\(0.25\)\(1\)\(1\)\(4\)\(4\)
 
Нанесём точки \((0; 0), (1; 0,25), (-1; 0,25), (2; 1), (-2; 1), (4; 4), (-4; 4)\) и соединим их плавной линией.
 
0.25x^2.png
 
Сравни полученные рисунки. Заметно, что оба графика похожи. График такого вида называют параболой.
У каждой параболы есть вершина и ось симметрии (говорят ось параболы). У данных парабол это точка \((0; 0))\) и ось \(y\).
Обрати внимание!
Коэффициент \(k\) определяет, как быстро изменяется значение функции при изменении аргумента. Чем больше коэффициент \(k\), тем более круто направлены вверх ветви параболы.
Возьмём отрицательный коэффициент \(k=-1\) и построим график функции y=x2. Заполним таблицу:
 
\(x\)\(0\)\(1\)\(-1\)\(2\)\(-2\)\(3\)\(-3\)
\(y\)\(0\)\(-1\)\(-1\)\(-4\)\(-4\)\(-9\)\(-9\)
 
Отметим точки \((0; 0), (1; -1), (-1; -1), (2; -4), (-2; -4), (3; -9), (- 3; - 9)\) и соединим плавной линией.
 
minpar.png
 
Эта парабола имеет вершину в точке \((0; 0)\), ось симметрии — ось \(y\). Коэффициент \(k<0\), поэтому ветви идут вниз.
График функции y=kx2 — парабола с вершиной в точке \((0; 0)\), с симметричными относительно оси ординат ветвями, идущими вверх (если \(k>0\)) или вниз (если \(k<0\)).
Графики функций, имеющие противоположные значения коэффициента \(k\), симметричны друг другу относительно оси абсцисс. Например, графики функций y=x2 и y=x2.
 
5.png
 
Точно так же симметричны друг другу относительно оси \(x\) параболы y=4x2 и  y=4x2.
 
-4x^2.png
 
Обрати внимание!
График функции \(у = - f(x)\) симметричен графику функции \(у = f(x)\) относительно оси абсцисс.