1. Графическое решение квадратных уравнений

Используя наши знания о некоторых функциях и их графиках, мы в состоянии уже теперь, не дожидаясь систематического изучения темы «Квадратные уравнения», решать некоторые квадратные уравнения, причём различными способами; мы рассмотрим эти способы на примере одного квадратного уравнения.

 

Реши уравнение $x^2-2x-3=0$.

 

Первый способ

Построим график функции $x^2-2x-3=0$.

1. Имеем: \(a = 1\), \(b = -2\), $x_0=-\frac{b}{2a}=\mathrm{1,}{y}_0=f(1)=1^2-2-3=-4$. Значит, вершиной параболы служит точка \((1; -4)\), а осью параболы — прямая \(x = 1\).

 

2. Возьмём на оси \(x\) две точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки \(x = -1\) и \(x = 3\). Имеем \(f(-1) = f(3) = 0\). Построим на координатной плоскости точки \((-1; 0)\) и \((3; 0)\).

 

3. Через точки \((-1; 0)\), \((1; -4)\), \((3; 0)\) проводим параболу.

 

 

Корнями уравнения $x^2-2x-3=0$ являются абсциссы точек пересечения параболы с осью \(х\); значит, корни уравнения таковы: $x_1=-1;x_2=3$.

 

Второй  способ

Преобразуем уравнение к виду $x^2=2x+3$. Построим в одной системе координат графики функций: $y=x^2;y=2x+3$.

 

 

Они пересекаются в двух точках: \(C(- 1; 1)\) и \(D(3; 9)\). Корнями уравнения служат абсциссы точек \(C\) и \(D\), значит, $x_1=-1;x_2=3$.

Преобразуем уравнение к виду $x^2-3=2x$. Построим в одной системе координат графики функций: $y=x^2-3;y=2x$.

 

 

Они пересекаются в двух точках: \(C(-1; - 2)\) и \(D(3; 6)\). Корнями уравнения являются абсциссы точек \(C\) и \(D\), поэтому $x_1=-1;x_2=3$.

 

Четвёртый способ

Преобразуем уравнение к виду $x^2-2x+1-4=0$ и далее $x^2-2x+1=4\to {\left(x-1\right)}^2=4$.
Построим в одной системе координат параболу $y={\left(x-1\right)}^2$ и прямую \(y = 4\).

 

 

Они пересекаются в двух точках: \(C(-1; 4)\) и \(D(3; 4)\). Корнями уравнения служат абсциссы точек \(C\) и \(D\), поэтому $x_1=-1;x_2=3$.

 

Пятый способ

Разделив почленно обе части уравнения на \(x\), получим:

Построим в одной системе координат гиперболу $y=\frac{3}{x}$ и прямую \(y = x - 2\).

 

 

Они пересекаются в двух точках: \(A (-1; -3)\) и \(B(3; 1)\). Корнями уравнения являются абсциссы точек \(A\) и \(B\), следовательно, $x_1=-1;x_2=3$.

 

Итак, квадратное уравнение $x^2-2x-3=0$ мы решили графически пятью способами.