1. Графическое решение квадратных уравнений

Применяя знания о функциях и их графиках, которые нам известны, мы можем решать некоторые квадратные уравнения.  Рассмотрим \(5\) графических способов решения квадратного уравнения $x^2-2x-8=0$.

 

Первый способ

Построим график функции $x^2-2x-8=0$.

1. Имеем: \(a = 1\), \(b = -2\), $x_0=-\frac{b}{2a}=\mathrm{1,}{y}_0=f(1)=1^2-2-8=-9$. Значит, вершиной параболы служит точка \((1; -9)\), а осью параболы является прямая \(x = 1\).

 

2. Возьмём на оси \(x\) две точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки \(x = -2\) и \(x = 4\). Имеем \(f(-2) = f(4) = 0\). Построим на координатной плоскости точки \((-2; 0)\) и \((4; 0)\).

 

3. Построим параболу по точкам \((-2; 0)\), \((1; -9)\), \((4; 0)\).

 

 

Корни уравнения $x^2-2x-8=0$ — это первые координаты точек, в которых функция равна нулю (то есть в которых график пересекает ось \(х\)); поэтому имеем решение: $x_1=-2;x_2=4$.

 

Второй  способ

Запишем уравнение в другом виде $x^2=2x+8$. Рассмотрим функции в  левой и правой частях уравнения $y=x^2;y=2x+8$. В одной системе координат построим их графики и найдём точки пересечения графиков:

 

 

Получили две точки:: \(C(- 2; 4)\) и \(D(4; 16)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(C\) и \(D\), имеем: $x_1=-2;x_2=4$.

Преобразуем уравнение к виду $x^2-8=2x$. Построим в одной системе координат графики функций: $y=x^2-8;y=2x$ и определим точки их пересечения:

 

 

Получили две точки: \(C(-2; - 4)\) и \(D(4; 8)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(C\) и \(D\), то есть $x_1=-2;x_2=4$.

 

Четвёртый способ

Преобразуем уравнение к виду $x^2-2x+1-9=0$ и далее $x^2-2x+1=9\to {\left(x-1\right)}^2=9$.
Построим в одной системе координат параболу $y={\left(x-1\right)}^2$, прямую \(y = 9\) и определим точки их пересечения:

 

 

Получили две точки: \(C(-2; 9)\) и \(D(4; 9)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(C\) и \(D\), поэтому $x_1=-2;x_2=4$.

 

Пятый способ

Так как \(x=0\) не является корнем уравнения, то разделим левую и правую части на \(x\):

Рассмотрим функции в  левой и правой частях уравнения $y=\frac{8}{x}$, \(y = x - 2\) и определим точки их пересечения:

 

 

Получили две точки: \(A (-2; -4)\) и \(B(4; 2)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(A\) и \(B\), следовательно, $x_1=-2;x_2=4$.