Теория:

С квадратными уравнениями мы уже встречались в курсе алгебры \(7\)-го класса.
Квадратное  уравнение — это уравнение второй степени. Общий вид квадратного уравнения ax2+bx+c=0, где \(а, b, с\) могут быть любыми числами и a0,
Применяя знания о функциях и их графиках, которые нам известны, мы можем решать некоторые квадратные уравнения.  Рассмотрим \(5\) графических способов решения квадратного уравнения x22x8=0.
 
Первый способ
Построим график функции x22x8=0.
1. Имеем: \(a = 1\), \(b = -2\), x0=b2a=1,y0=f(1)=1228=9. Значит, вершиной параболы служит точка \((1; -9)\), а осью параболы является прямая \(x = 1\).
 
2. Возьмём на оси \(x\) две точки, симметричные относительно оси параболы, например, точки \(x = -2\) и \(x = 4\). Имеем \(f(-2) = f(4) = 0\). Построим на координатной плоскости точки \((-2; 0)\) и \((4; 0)\).
 
3. Построим параболу по точкам \((-2; 0)\), \((1; -9)\), \((4; 0)\).
 
график 1.png
 
Корни уравнения x22x8=0 — это первые координаты точек, в которых функция равна нулю (то есть в которых график пересекает ось \(х\)); поэтому имеем решение: x1=2;x2=4.
 
Второй  способ
Запишем уравнение в другом виде x2=2x+8. Рассмотрим функции в  левой и правой частях уравнения y=x2;y=2x+8. В одной системе координат построим их графики и найдём точки пересечения графиков:
 
график 2_1.png
 
Получили две точки:: \(C(- 2; 4)\) и \(D(4; 16)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(C\) и \(D\), имеем: x1=2;x2=4.
 
Третий способ
Преобразуем уравнение к виду x28=2x. Построим в одной системе координат графики функций: y=x28;y=2x и определим точки их пересечения:
 
график 3_1.png
 
Получили две точки: \(C(-2; - 4)\) и \(D(4; 8)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(C\) и \(D\), то есть x1=2;x2=4.
 
Четвёртый способ
Преобразуем уравнение к виду x22x+19=0 и далее x22x+1=9x12=9.
Построим в одной системе координат параболу y=x12, прямую \(y = 9\) и определим точки их пересечения:
 
график 4_1.png
 
Получили две точки: \(C(-2; 9)\) и \(D(4; 9)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(C\) и \(D\), поэтому x1=2;x2=4.
 
Пятый способ
Так как \(x=0\) не является корнем уравнения, то разделим левую и правую части на \(x\):
x28x=0;x2=8x.
Рассмотрим функции в  левой и правой частях уравнения y=8x, \(y = x - 2\) и определим точки их пересечения:
 
график 5_1.png
 
Получили две точки: \(A (-2; -4)\) и \(B(4; 2)\). Решением уравнения будут первые координаты точек \(A\) и \(B\), следовательно, x1=2;x2=4.