Теория:
Рациональные уравнения могут служить математическими моделями реальных ситуаций.
Пример:
Иван и Максим решили поехать на вокзал. Иван отправился на метро, станция которого находится в \(36\) км от вокзала. Максим задержался на \(3\) минуты и решил ехать на такси. Скорость такси на \(10\) км/ч больше скорости метро. С какой скоростью ехал Иван, если он приехал одновременно с Максимом?
Первый этап. Составление математической модели.
Пусть \(x\) км/ч — скорость метро.
Так как расстояние до вокзала равно \(36\) км, то время в пути для Ивана составляет ч.
Максим ехал со скоростью \((x + 10)\) км/ч, значит, время, затраченное на дорогу, равно ч.
Т. к. Максим задержался на \(3\) минуты, то время ч. больше времени ч. на \(3\) мин., т. е. на ч.
Получаем рациональное уравнение: , которое является математической моделью.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Получили: .
Преобразуем левую часть уравнения:
.
Приравняв числитель этой дроби к нулю, получим квадратное уравнение:
;
;
;
.
Имеем два допустимых корня рационального уравнения, которые не обращают в нуль знаменатель .
Третий этап. Формулировка ответа на вопрос задачи.
Необходимо выяснить, с какой скоростью ехал Иван, если он приехал одновременно с Максимом?
Искомую скорость мы обозначили через \(x\). Пришли к тому, что либо \(x=80\), либо \(x=-90\). Второе значение не соответствует решению задачи, т. к. скорость движения метро (Ивана) не может принимать отрицательное значение. Следовательно, корень \(x = 80\), является ответом на вопрос задачи.
Ответ: \(80\) км/ч.
Сделаем несколько комментариев к решению задачи
1. Условие задачи несколько идеализировано, поскольку в действительности метро движется не с постоянной скоростью, а то ускоряется, то замедляется. Однако при решении математических задач идеализация условий данной ситуации допустима.
2. Снова акцентируем твоё внимание на то, что мы использовали знакомый ход рассуждений: составили математическую модель, провели работу с составленной моделью, сформулировали ответ на вопрос задачи.
3. Напомним, что составление математической модели является ключевым этапом в решении задачи. На данном этапе происходит серьёзный творческий процесс: перевод условия задачи на математический язык из обычной речи. На втором этапе мы работаем чисто технически, действуем по алгоритму, однако эта работа тоже требует особого внимания.
Проанализируем рассмотренную задачу с точки зрения её перевода на математический язык с обыденного.
Мы ввели обозначение: \(x\) — искомая скорость. Это позволило нам работать искомой величиной, потому как с позиции алгебры не имеет значения, с чем именно мы имеем дело: с числами или с буквами.
Применяя закон равномерного движения из физики \(s = vt\) (\(s\) — путь, \(v\) — скорость, \(t\) — время), подставив путь (\(36\) км) и скорость (\(x\) км/ч), мы выразили время, которое предусмотрено расписанием, получили дробь ч.
Согласно условию задачи такси ехало со скоростью, на \(10\) км/ч большей, чем метро. При переводе условия задачи на математический язык получили: \((x + 10)\) км/ч — скорость такси (Максима), а ч. — реальное время в пути Максима на расстоянии \(36\) км.
По условию задачи Максим задержался на \(3\) мин., т. е. ч.
Иначе говоря, время в пути Ивана ( ч.), больше времени в пути Максима ( ч.) на ч.
Вычтем из большего выражения меньшее и получим разность: .
Получена математическая модель задачи.
Обрати внимание!
При составлении равенства величины должны быть представлены одинаковыми единицами измерения (в нашем уравнении время в пути Ивана, Максима и разность этих величин выражено в часах).