Степенная функция с натуральным показателем

Функцию вида

y = x^{n}, где n = 1, 2, 3, 4, 5 ...

, называют cтепенной функцией с натуральным показателем.

Функция

y = x^{4}, x \geq 0

Составим таблицу значений для этой функции.

$x$	$0$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$
$y$	$0$	$1$	$\frac{1}{16}$	$\frac{81}{16}$

Построим точки

(0; 0)

(1; 1)

(\frac{1}{2}; \frac{1}{16})

(\frac{3}{2}; \frac{81}{16})

на координатной плоскости.

Данные точки намечают некоторую линию, проведём её.

Добавим к данному графику линию, симметричную построенной относительно оси ординат, получим график функции

y = x^{4}, x \in (- \infty; + \infty)

Обрати внимание!

График похож на параболу, но параболой его не называют.

Свойства функции

y = x^{4}

D (f) = (- \infty; + \infty)

;

2. чётная функция;

3. убывает на луче

(- \infty; 0]

, возрастает на луче

[0; + \infty)

;

4. ограничена снизу, не ограничена сверху;

y_{наим} = 0; y_{наиб}

не существует;

6. непрерывна;

E (f) = [0; + \infty)

;

8. выпукла вниз.

Функция

y = x^{3}

Функция

y = x^{3}

— нечётная функция, следовательно, её график симметричен относительно начала координат.

График функции

y = x^{3}

при

x \geq 0

в принципе выглядит так же, как график функции

y = x^{4}

при

x \geq 0

, нужно лишь учесть, что новая кривая чуть менее круто идёт вверх и чуть дальше отстоит от оси $x$ около начала координат. Добавив линию, симметричную построенной относительно начала координат, получим график функции

y = x^{3}

Обрати внимание!

Кривую называют кубической параболой.

Отметим некоторые геометрические особенности кубической параболы

y = x^{3}

У неё есть центр симметрии — точка $(0;0)$, которая отделяет друг от друга две симметричные части кривой; эти симметричные части называют ветвями кубической параболы.