Теория:

Исследование функции на монотонность
Функцию \(y=f(x)\) называют возрастающей на множестве XD(f), если для любых точек x1 и x2 множества \(X\) — таких, что x1<x2 — выполняется неравенство fx1<fx2.
 
Функцию \(y=f(x)\) называют убывающей на множестве XD(f), если для любых точек x1 и x2 множества \(X\) — таких, что x1<x2 — выполняется неравенство fx1>fx2.
Обрати внимание!
Иными словами:
функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции;
функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Исследование функции на ограниченность
Функцию \(y=f(x)\) называют ограниченной снизу на множестве XD(f), если все значения этой функции на множестве \(X\) больше некоторого числа; иными словами, если существует число \(m\) — такое, что для любого значения xX выполняется неравенство f(x)>m.
Функцию \(y=f(x)\) называют ограниченной сверху на множестве XD(f), если все значения этой функции на множестве \(X\) меньше некоторого числа; иными словами, если существует число \(M\) — такое, что для любого значения xX выполняется неравенство f(x)<M.
Наименьшее и наибольшее значения функции
Число \(m\) называют наименьшим значением функции \(y=f(x)\) на множестве XD(f), если
1) существует точка x0X, такая, что fx0=m;
2) для любого значения xX выполняется неравенство f(x)fx0.
 
Число \(M\) называют наибольшим значением функции \(y=f(x)\) на множестве XD(f), если
1) существует точка x0X, такая, что fx0=M;
2) для любого значения xX выполняется неравенство f(x)fx0.
Обозначения:
yнаим — наименьшее значение функции;
yнаиб — наибольшее значение функции.
Если функция имеет  наибольшее значение yнаиб, то её называют ограниченой сверху.
Если функция имеет наименьшее значение yнаим, то её называют ограниченной снизу.
Соответственно, можно рассуждать наоборот.  Если функция не ограничена сверху, то у неё не существует наибольшего значения yнаиб. И если функция не ограничена снизу, то у неё не существует наименьшего значения yнаим.
Нули функции
Нулём функции \(y=f(x)\) называется такое значение аргумента x0, при котором функция обращается в нуль.