2. Факториал

Теория:

Часто нужно с использованием закона умножения вычислить произведения натуральных чисел по порядку, начиная с \(1\).
Например, 1⋅2⋅3⋅4⋅5⋅6⋅7 и т. д. Не всегда важно вычислить числовое произведение. Чтобы можно было короче записать выражения такого вида, в математике используется знак «\(!\)».
Произведение всех натуральных чисел от 1 до \(n\) включительно называется факториалом числа n и записывается n! (читается как «эн факториал»).
n!=1⋅2⋅3⋅...⋅n−2⋅n−1⋅n.
Принято, что \(0! = 1\).
1!=1;
2!=2⋅1=2;
3!=3⋅2⋅1=6;
4!=4⋅3⋅2⋅1=24;
5!=5⋅4⋅3⋅2⋅1=120;
6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720.
 
Пример:
1 задание.
Вычисли значение выражения.
a) 5!+4!=5⋅4⋅3⋅2⋅1+4⋅3⋅2⋅1=120+24=144.
 
b) 7!−5!4!=7⋅6⋅5⋅4!−5⋅4!4!=5⋅4!(42−1)4!=5⋅41=205  (\(4!\) выносится за скобки. В дроби равные факториалы можно сокращать).
  
c) 80!79!+59!58!=80⋅79!79!+59⋅58!58!=80+59=139.
 
Каждый больший факториал можно выразить меньшим факториалом, т. е.
\(n! = n(n-1)! = n(n-1)(n-2)! = n(n-1)(n-2)(n-3)!\) и т. д.
 
Пример:
2 задание.
Сократи дробь:
(n+1)!(n−1)!=(n+1)n(n−1)!(n−1)!=(n+1)n(n−1)!(n−1)!=(n+1)n.
 
 
3 задание.
Упрости выражение:
 n+2(n−1)!−2n+3n!=n+2\n(n−1)!−2n+3n(n−1)!=n2+2n−2n−3n(n−1)!=n2−3n!.
 
При увеличении значения \(n\) значение \(n!\) стремительно возрастает. Знак факториала удобно использовать, если нужно записывать большие числа.
 
Пример:
сколькими различными способами можно составить список учеников, если в нём должно быть \(25\) различных учеников?
 
1⋅2⋅3⋅...⋅24⋅25=25!
 
Ответ: список можно составить \(25!\) различными способами.
Предыдущая теория
Вернуться в тему
Следующее задание
Copyright © 2022 ООО ЯКласс Контакты Пользовательское соглашение