Теория:

Когда неизвестно, произойдёт в ходе испытания данное событие или нет, то говорят, что
это случайное событие.
Например, случайное событие — выпадение решки при бросании монеты.
Достоверное событие — событие, которое в ходе испытания обязательно наступит.
 
Невозможное событие — событие, которое в ходе испытания  точно не произойдёт.
Если при проведении испытаний наступает исход, благоприятный событию  \(A\), то этот исход назовём благоприятным событию \(A\).
 
Дадим классическое определение вероятности.
Вероятность события \(A\) — отношение количества благоприятных событию \(A\) исходов к общему количеству всех равновозможных исходов.
P(A)=mn, где
\(m\) — количество исходов испытания, в которых наступает событие \(A\),
\(n\) — количество всех равновозможных исходов.
Пример:
Бросают игральный кубик. Какова вероятность, что выпадет \(3\) очка?

Решение. Количество элементарных исходов \(n=6\). Событие \(A\) — выпадение трёх очков. Число случаев, благоприятных событию \(A\) равно \(m=1\). Получаем:

P(A)=mn=16.

Существует связь между терминами теории вероятностей и теории множеств. Соответствия заключаются в следующем:
  • испытание с N исходами — множество из N элементов;
  • отдельный исход испытания — элемент множества;
  • случайное событие — подмножество;
  • невозможное событие — пустое множество;
  • достоверное событие — подмножество, которое совпадает со всем множеством;
  • вероятность события — доля (часть) элементов подмножества среди всех элементов множества.
Случайные события называются не совместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Теорема 

 Если события \(A\) и \(B\) не совместны, то вероятность того, что наступит или \(A\), или \(B\), равна \(P(A) + P(B)\).

Теорема

Для нахождения вероятности противоположного события следует из единицы вычесть вероятность самого события: \(P(A) = 1-P(A)\).

Но встречаются испытания и с бесконечным множеством исходов. К ним классическая вероятностная схема уже неприменима. В таком случае применяют правило нахождения геометрической вероятности.

Пусть фигура \(X\) является частью фигуры \(Y\). Тогда вероятность того, что случайно выбранная из фигуры \(Y\) точка будет принадлежать фигуре \(X\), равна P=S(X)S(Y), где \(S(X)\) — площадь фигуры \(X\), \(S(Y)\) — площадь фигуры \(Y\).

Аналогично поступают с множествами на числовой прямой (тогда площади заменяем на длину числовых множеств) и с пространственными телами (тогда площади заменяем на объёмы пространственных тел).

Пример:

в прямоугольник \(5×4\) cm2 помещён круг радиуса \(1,5\)  \(cm\). В прямоугольник случайным образом поставили одну точку. Какова вероятность того, что эта точка  будет находиться внутри круга?

Решение: по определению геометрической вероятности искомая вероятность равна отношению площади круга (в который точка должна попасть) к площади прямоугольника (в которой точка ставится), т. е. P=SкругаSпрямоугольника=π1,5254=0,353.

rinkis.png

Рис. 1. Прямоугольник и круг

Источники:

Рис. 1. Прямоугольник и круг. © ЯКласс.