Решение рациональных неравенств методом интервалов

Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) < g(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) — рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной \(x\) и с помощью математических действий,

т. е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.

При решении рациональных неравенств применяют правила, которые используются при решении линейных и квадратных неравенств.

С помощью равносильных преобразований рациональное неравенство приводят к виду \(h(x)<0\), где \(h(x)\) — алгебраическая дробь или многочлен — и применяют метод интервалов.

Пример:

решить неравенство

\frac{x^{2} + 3}{2 x^{2} - 7 x - 4} > 0

Решение

1. Найдём корни квадратного трёхчлена

2 x^{2} - 7 x - 4

и разложим его на множители по формуле

a x^{2} + bx + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

\begin{array}{l} 2 x^{2} - 7 x - 4 = 0; \\ D = b^{2} - 4 ac = {(- 7)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 49 + 32 = 81; \\ x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{- 2}{4} = - \frac{1}{2} = - 0,5; \\ x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a} = \frac{- (- 7) + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4; \\ 2 x^{2} - 7 x - 4 = 2 (x + 0,5) (x - 4); \\ 2 (x + 0,5) (x - 4) = 0 |: 2; \\ (x + 0,5) (x - 4) = 0; \\ x_{1} = - 0,5; x_{2} = 4 . \end{array}

2. Разделим обе части неравенства на положительное при всех значениях \(x\)

выражение

x^{2} + 3

, при этом знак неравенства \(>\) не поменяется:

\begin{array}{l} \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} : (x^{2} + 3) > 0 : (x^{2} + 3); \\ \frac{x^{2} + 3}{(x + 0,5) (x - 4)} \cdot \frac{1}{x^{2} + 3} > 0; \\ \frac{(x^{2} + 3) \cdot 1}{(x + 0,5) (x - 4) \cdot (x^{2} + 3)} > 0; \\ \frac{1}{(x + 0,5) (x - 4)} > 0 . \end{array}

3. Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.

Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.

На интервале

(- \infty; - 0,5)

возьмём \(x=-2\), тогда

2 {\cdot (- 2)}^{2} - 7 \cdot (- 2) - 4 = 2 \cdot 4 + 14 - 4 = 18 > 0

На интервале

(- 0,5; 4)

возьмём \(x=0\), тогда

2 {\cdot 0}^{2} - 7 \cdot 0 - 4 = 0 - 0 - 4 = - 4 < 0

На интервале

(4; + \infty)

возьмём \(x=5\), тогда

2 {\cdot 5}^{2} - 7 \cdot 5 - 4 = 2 \cdot 25 - 35 - 4 = 50 - 39 = 11 > 0

Квадратный трёхчлен принимает положительные значения на интервалах

(- \infty; - 0,5)

(4; + \infty)

Ответ:

(- \infty; - 0,5) и (4; + \infty)

Вернуться в тему

Следующая теория

Отправить отзыв

Нашёл ошибку?

Сообщи нам!

1. Решение рациональных неравенств методом интервалов

Теория: