Теория:
Рациональным неравенством с одной переменной \(x\) называют неравенство вида \(f(x) < g(x)\), где \(f(x)\) и \(g(x)\) — рациональные выражения, т. е. алгебраические выражения, составленные из чисел, переменной \(x\) и с помощью математических действий,
т. е. операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень.
При решении рациональных неравенств применяют правила, которые используются при решении линейных и квадратных неравенств.
С помощью равносильных преобразований рациональное неравенство приводят к виду \(h(x)<0\), где \(h(x)\) — алгебраическая дробь или многочлен — и применяют метод интервалов.
Пример:
решить неравенство .
Решение
1. Найдём корни квадратного трёхчлена
и разложим его на множители по формуле :
2. Разделим обе части неравенства на положительное при всех значениях \(x\)
выражение , при этом знак неравенства \(>\) не поменяется:
3. Отметим на числовой прямой корни и найдём знаки квадратного трёхчлена на каждом интервале.
Для этого из каждого интервала достаточно взять произвольно по одному значению и подставить вместо \(x\) в трёхчлен.

На интервале возьмём \(x=-2\), тогда .
На интервале возьмём \(x=0\), тогда .
На интервале возьмём \(x=5\), тогда .
Квадратный трёхчлен принимает положительные значения на интервалах и .
Ответ: .