Решение задач с помощью систем уравнений

Система двух уравнений с двумя переменными может служить математической моделью реальной ситуации.

Решение текстовой задачи делится на три этапа:

первый этап. Составление математической модели.
Второй этап. Работа с составленной моделью.
Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Задача. Разность катетов прямоугольного треугольника равна
\(23\) см, а его гипотенуза равна \(37\) см. Найдите площадь треугольника.

Решение.

Первый этап. Составление математической модели.

Обозначим длину одного катета как \(x\) см, а другого — как \(y\) cм.

Тогда

x - y = 23

— разность катетов прямоугольного треугольника.

Применив теорему Пифагора, получим второе уравнение:

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 37^{2}; \\ x^{2} + y^{2} = 1369 . \end{array}

Составляем систему двух уравнений с двумя неизвестными.

\{\begin{cases} x - y = 23 \\ x^{2} + y^{2} = 1369 \end{cases}

Второй этап. Работа с составленной моделью.

Выразим \(x\) через \(y\) из первого уравнения системы.

\{\begin{cases} x = 23 + y \\ x^{2} + y^{2} = 1369 \end{cases}

Подставим это выражение вместо \(x\) во второе уравнение системы:

\begin{array}{l} x^{2} + y^{2} = 1369; \\ {(23 + y)}^{2} + y^{2} = 1369; \\ 23^{2} + 46 y + y^{2} + y^{2} = 1369; \\ 2 y^{2} + 46 y + 529 - 1369 = 0; \\ 2 y^{2} + 46 y - 840 = 0 |: 2 \\ y^{2} + 23 y - 420 = 0; \\ y_{1} = \underline{12;} \end{array}

y_{2} = - 35

(не подходит по условию задачи).

Найдём \(x\) из первого уравнения системы:

x = 23 + 12 = \underline{35}

Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Найдём площадь прямоугольного треугольника:

S = \frac{1}{2} xy = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 35 = \frac{{}^{6}12 \cdot 35}{2_{1}} = 210 {см}^{2}

Ответ:

S = 210 {см}^{2}

Нашёл ошибку?

1. Решение задач с помощью систем уравнений